标签： 高等数学基础

问题

下面【圆的参数方程】，正确的是哪个？

设该圆的圆心坐标为 $(a,b)$, 半径为 $r$.

选项

[A].   $\{\begin{array}{ll}& x=a+r\sin \theta \\ & y=b+r\cos \theta \end{array}$

[B].   $\{\begin{array}{ll}& x=b+r\cos \theta \\ & y=a+r\sin \theta \end{array}$

[C].   $\{\begin{array}{ll}& x=a–r\cos \theta \\ & y=b–r\sin \theta \end{array}$

[D].   $\{\begin{array}{ll}& x=a+r\cos \theta \\ & y=b+r\sin \theta \end{array}$

   答 案   

$\{\begin{array}{ll}& x=a+r\cos \theta \\ & y=b+r\sin \theta \end{array}$

问题

下面【圆的标准方程】，正确的是哪个？

设该圆的圆心坐标为 $(a,b)$, 半径为 $r$.

选项

[A].   $(x-a{)}^2+$ $(y-b{)}^2=$ $r$

[B].   $(x-a{)}^2+$ $(y-b{)}^2=$ $r^2$

[C].   $(x+a{)}^2-$ $(y+b{)}^2=$ $r^2$

[D].   $(x-a{)}^2+$ $(y-b{)}^2=$ $r^3$

   答 案   

$(x-a{)}^2+$ $(y-b{)}^2=$ $r^2$

问题

下面【平面直线的两点式方程】，正确的是哪个？

设该平面直线过 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 两个点，且 $x_1\ne$ $x_2$, $y_1\ne$ $y_2$.
注：该方程仅适用于不垂直于 $x$ 轴或 $y$ 轴的直线.

选项

[A].   $\frac{y–y_1}{y–y_2}=$ $\frac{x–x_1}{x–x_2}$

[B].   $\frac{y–y_1}{y_2+y_1}=$ $\frac{x–x_1}{x_2+x_1}$

[C].   $\frac{y+y_1}{y_2–y_1}=$ $\frac{x+x_1}{x_2–x_1}$

[D].   $\frac{y–y_1}{y_2–y_1}=$ $\frac{x–x_1}{x_2–x_1}$

   答 案   

$\frac{y–y_1}{y_2–y_1}=$ $\frac{x–x_1}{x_2–x_1}$

问题

下面【平面直线的斜截式方程】，正确的是哪个？

设该平面直线的斜率为 $k$, 在 $y$ 轴上形成的截距为 $b$.
注：该方程仅适用于不和 $x$ 轴垂直的直线.

选项

[A].   $y=$ $kx+$ $b$

[B].   $y=$ $kx-$ $b$

[C].   $y=$ $kx+$ $k$

[D].   $y=$ $bx+$ $k$

   答 案   

$y=$ $kx+$ $b$

问题

下面【平面直线的截距式方程】，正确的是哪个？

设该平面直线在 $x$ 轴上形成的截距为 $a$, 在 $y$ 轴上形成的截距为 $b$.
注：该方程仅适用于不过坐标轴原点，且与 $x$ 轴和 $y$ 轴均相交的直线.

选项

[A].   $\frac{x}{a}+$ $\frac{y}{b}=$ $1$

[B].   $\frac{x}{a}+$ $\frac{y}{b}=$ $-1$

[C].   $\frac{x}{a}+$ $\frac{y}{b}=$ $0$

[D].   $\frac{x}{b}+$ $\frac{y}{a}=$ $1$

   答 案   

$\frac{x}{a}+$ $\frac{y}{b}=$ $1$

问题

下面【平面直线的点斜式方程】，正确的是哪个？

设该平面直线过点 $(x_0,y_0)$, 且斜率为 $k$.
注：该方程仅适用于和 $x$ 轴不垂直的直线.

选项

[A].   $y–y_0=$ $k(x–x_0)$

[B].   $y–x_0=$ $k(x–y_0)$

[C].   $y–y_0=$ $\frac{1}{k}(x–x_0)$

[D].   $y+y_0=$ $k(x+x_0)$

   答 案   

$y–y_0=$ $k(x–x_0)$

问题

下面【两点之间的距离】公式，正确的是哪个？

设点 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$, 点 $B$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$, $d_{AB}$ 表示 $A$ 和 $B$ 两点之间的距离.

选项

[A].   $d_{AB}=$ $\sqrt{(x_1–x_2{)}^3+(y_1–y_2{)}^3}$

[B].   $d_{AB}=$ $\sqrt{(x_1–x_2{)}^2+(y_1–y_2{)}^2}$

[C].   $d_{AB}=$ $\sqrt{(x_1+x_2{)}^2–(y_1+y_2{)}^2}$

[D].   $d_{AB}=$ $\sqrt{(x_1–x_2{)}^2–(y_1–y_2{)}^2}$

   答 案   

$d_{AB}=$ $\sqrt{(x_1–x_2{)}^2+(y_1–y_2{)}^2}$

问题

下面的二项式定理公式中，正确的是哪个？

选项

[A].   $(a+b{)}^n=$ $C_n^0{a}^{n–0}\cdot b^0+$ $C_n^1{a}^{n-1}\cdot b^1+$ $C_n^2{a}^{n-2}\cdot b^2+$ $C_n^3{a}^{n-3}\cdot b^3+$ $\cdots +$ $C_n^k{a}^{n-k}\cdot b^k+$ $\cdots +$ $C_n^{n-1}{a}^{n-n}\cdot b^{n-1}=$ $\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n–k}\cdot b^k$

[B].   $(a+b{)}^n=$ $C_n^1{a}^{n-1}\cdot b^1+$ $C_n^2{a}^{n-2}\cdot b^2+$ $C_n^3{a}^{n-3}\cdot b^3+$ $\cdots +$ $C_n^k{a}^{n-k}\cdot b^k+$ $\cdots +$ $C_n^n{a}^{n-n}\cdot b^n=$ $\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n–k}\cdot b^k$

[C].   $(a+b{)}^n=$ $C_n^0{a}^{n–0}\cdot b^0+$ $C_n^1{a}^{n-1}\cdot b^1+$ $C_n^2{a}^{n-2}\cdot b^2+$ $C_n^3{a}^{n-3}\cdot b^3+$ $\cdots +$ $C_n^k{a}^{n-k}\cdot b^k+$ $\cdots +$ $C_n^n{a}^{n-n}\cdot b^n=$ $\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n–k}\cdot b^k$

[D].   $(a+b{)}^n=$ $C_n^0{a}^{n–0}\cdot b^0+$ $C_n^1{a}^{n-1}\cdot b^1+$ $C_n^2{a}^{n-2}\cdot b^2+$ $C_n^3{a}^{n-3}\cdot b^3+$ $\cdots +$ $C_n^k{a}^{n-k}\cdot b^k+$ $\cdots +$ $C_n^n{a}^{n-n}\cdot b^n=$ $\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n+k}\cdot b^k$

   答 案   

$(a+b{)}^n=$ $C_n^0{a}^{n–0}\cdot b^0+$ $C_n^1{a}^{n-1}\cdot b^1+$ $C_n^2{a}^{n-2}\cdot b^2+$ $C_n^3{a}^{n-3}\cdot b^3+$ $\cdots +$ $C_n^k{a}^{n-k}\cdot b^k+$ $\cdots +$ $C_n^n{a}^{n-n}\cdot b^n=$ $\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n–k}\cdot b^k$

问题

下面的【组合的性质】中，正确的是哪个？

选项

[A].   $C_n^0=$ $C_n^n=$ $-1$

[B].   $C_n^0=$ $C_n^n=$ $0$

[C].   $C_n^0=$ $C_n^n=$ $1$

[D].   $C_n^0\ne$ $C_n^n$

   答 案   

$C_n^0=$ $C_n^n=$ $1$

问题

下面关于一元二次方程【$a{x}^2+$ $bx+$ $c=0$】的判别式，正确的是哪个？

选项

[A].   $\mathrm{\Delta }=$ $b^2-4ac\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}>0,\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{相}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{根};\\ =0,\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{根};\\ <0,\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{实}\mathrm{根}，\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{共}\mathrm{轭}\mathrm{的}\mathrm{虚}\mathrm{根}.\end{array}.$

[B].   $\mathrm{\Delta }=$ $b^2-4ab\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}>0,\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{根};\\ =0,\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{相}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{根};\\ <0,\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{实}\mathrm{根}，\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{共}\mathrm{轭}\mathrm{的}\mathrm{虚}\mathrm{根}.\end{array}.$

[C].   $\mathrm{\Delta }=$ $b^2-4ac\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}>0,\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{根};\\ =0,\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{相}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{根};\\ <0,\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{实}\mathrm{根}，\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{共}\mathrm{轭}\mathrm{的}\mathrm{虚}\mathrm{根}.\end{array}.$

[D].   $\mathrm{\Delta }=$ $b^2+4ac\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}>0,\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{根};\\ =0,\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{相}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{根};\\ <0,\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{实}\mathrm{根}，\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{共}\mathrm{轭}\mathrm{的}\mathrm{虚}\mathrm{根}.\end{array}.$

   答 案   

$\mathrm{\Delta }=$ $b^2-4ac\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}>0,\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{根};\\ =0,\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{相}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{根};\\ <0,\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{实}\mathrm{根}，\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{共}\mathrm{轭}\mathrm{的}\mathrm{虚}\mathrm{根}.\end{array}.$

问题

下面关于一元二次方程【$a{x}^2+$ $bx+$ $c=0$】的韦达定理公式，正确的是哪个？

选项

[A].   $x_1+$ $x_2=$ $+\frac{b}{a}$, $x_1\cdot$ $x_2=$ $\frac{c}{a}$

[B].   $x_1+$ $x_2=$ $-\frac{c}{a}$, $x_1\cdot$ $x_2=$ $\frac{b}{a}$

[C].   $x_1+$ $x_2=$ $-\frac{b}{a}$, $x_1\cdot$ $x_2=$ $\frac{c}{b}$

[D].   $x_1+$ $x_2=$ $-\frac{b}{a}$, $x_1\cdot$ $x_2=$ $\frac{c}{a}$

   答 案   

$x_1+$ $x_2=$ $-\frac{b}{a}$, $x_1\cdot$ $x_2=$ $\frac{c}{a}$

问题

下面关于一元二次方程【$a{x}^2+$ $bx+$ $c=0$】的根的计算公式，正确的是哪个？

选项

[A].   $x=$ $\frac{-b\pm \sqrt{b^2–4ac}}{2a}$

[B].   $x=$ $\frac{\pm b–\sqrt{b^2–4ac}}{2a}$

[C].   $x=$ $\frac{-b+\sqrt{b^2\pm 4ac}}{2a}$

[D].   $x=$ $\frac{-b\pm \sqrt{b^2+4ac}}{2a}$

   答 案   

$x=$ $\frac{-b\pm \sqrt{b^2–4ac}}{2a}$

问题

下面任意【梯形的面积】公式正确的是哪个？

示意图如下：

其中，$S$ 表示梯形的面积，$a$ 为梯形的上底边长，$b$ 为梯形的下底边长，$h$ 为梯形的高，$m$ 为梯形的中位线长度.

选项

[A].   $S=$ $\frac{a+h}{2}\cdot b=$ $m\cdot h$

[B].   $S=$ $\frac{a+b}{2}\cdot h=$ $\frac{m}{2}\cdot h$

[C].   $S=$ $\frac{a+b}{2}\cdot h=$ $m\cdot h$

[D].   $S=$ $\frac{a+b}{3}\cdot h=$ $m\cdot h$

   答 案   

$S=$ $\frac{a+b}{2}\cdot h=$ $m\cdot h$

问题

下面任意【扇形的面积】公式正确的是哪个？

示意图如下：

其中，$S$ 表示扇形的面积，$r$ 表示扇形的半径，$l$ 表示扇形的弧长，$\theta$ 表示扇形的夹角.

选项

[A].   $S=$ $\frac{1}{3}rl=$ $\frac{1}{2}{r}^2\theta$

[B].   $S=$ $\frac{1}{2}rl=$ $\frac{1}{2}r\theta$

[C].   $S=$ $\frac{1}{2}rl=$ $\frac{1}{2}{r}^2\theta$

[D].   $S=$ $\frac{1}{2}rl=$ $\frac{1}{2}r{\theta }^2$

   答 案   

$S=$ $\frac{1}{2}rl=$ $\frac{1}{2}{r}^2\theta$

问题

下面任意【平行四边形的面积】公式正确的是哪个？

示意图如下：

其中，$S$ 表示平行四边形的面积，$a$, $b$ 为平行四边形的边长，$h$ 为平行四边形的高，$\sin \phi =$ $\frac{h}{a}$.

选项

[A].   $S=$ $ab=$ $b\cdot a\sin \phi$

[B].   $S=$ $bh=$ $b\cdot h\sin \phi$

[C].   $S=$ $bh=$ $b\cdot a\sin \phi$

[D].   $S=$ $bh=$ $b\cdot a\cos \phi$

   答 案   

$S=$ $bh=$ $b\cdot a\sin \phi$