设 $R$ 为圆柱体底圆的半径，$H$ 为圆柱体的高，$S_{侧}$ 为圆柱体的侧面积
$S_{侧} = 2 \pi R \cdot H$
根据不同的计算思路，$\int (y+1) dy$ 或 $\int (x+1) dx$ 会呈现出两种看上去“不同”的计算结果，本文将以 $\int (y+1) dy$ 为例，对这一现象进行分析。
对 $y+1$ 进行积分的具体应用案例，可以参考：《2015年考研数二第17题解析》
继续阅读“$y+1$ 或 $x+1$ 的积分怎么算？”设 $a_{1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ c_{1} \end{bmatrix}$, $a_{2}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ c_{2}\end{bmatrix}$, $a_{3}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ c_{3} \end{bmatrix}$, $a_{4}$ $=$ $\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ c_{4}\end{bmatrix}$, 其中 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )
( A ) $a_{1},a_{2},a_{3}.$
( B ) $a_{1},a_{2},a_{4}.$
( C ) $a_{1},a_{3},a_{4}.$
( D ) $a_{2},a_{3},a_{4}.$
解答本题需要关于“线性相关”的知识。在向量组 $a_{1},a_{2},\dots a_{n}$ 线性相关的结论中，有这样一个结论：
$n$ 个 $n$ 维向量 $a_{1},a_{2}$, $\dots$ $a_{n}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 行列式 $|a_{1},a_{2},\dots,a_{n}|=0.$
上面的结论中提到了 “$n$ 维向量”, 其实 “$n$ 维向量” 是两种向量的合称，第一种叫 “$n$ 维列向量”，即 $n$ 行 $1$ 列，形如：
$a=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}.$
第二种叫 “$n$ 维行向量”，即 $1$ 行 $n$ 列，形如：
$b=\begin{bmatrix}b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\end{bmatrix}.$
观察可知，题目中给出的是 $3$ 维列向量，选项中给出的向量的排布组合方式是横向的，因此组合形成的是 $3$ 行 $3$ 列的向量组，符合使用上述有关结论的条件。
此外，为了方便计算，这里还需要介绍一种计算行列式数值的简便方法，如下：
只要主对角线的两侧有任一侧有用 $0$ 填充的三角形就可以用下面的公式计算：
$\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}&0\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& \star& \star\\ 0& \lambda_{2}& \star\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ \star& \lambda_{2}& 0 \\ \star& \star& \lambda_{3} \end{bmatrix}=\lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$
注：上述公式中 $\star$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。
只要副对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算：
$\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}&0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\star& \star& \lambda_{1}\\ \star& \lambda_{2}& 0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}& \star \\ \lambda_{3}& \star& \star \end{bmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \times \lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$
注：上述公式中 $\star$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。
下面开始逐个选项进行计算并判断相关性。
A 项：
$\begin{vmatrix}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_{1}& c_{2}& c_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3 \times 2}{2}}\times1\times1\times c_{1}=-c_{1}.$
当 $-c_{1} \neq 0$ 时，$a_{1},a_{2},a_{3}$ 的线性相关不成立。
B 项：
$\begin{vmatrix}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_{1}& c_{2}& c_{4}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3\times2}{2}}\times (-1) \times 1 \times c_{1}=c_{1}.$
当 $c_{1} \neq 0$ 时，$a_{1},a_{2},a_{4}$ 的线性相关不成立。
C 项：
$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_{1}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{1}-c_{1}=0, 恒成立.$
$a_{1},a_{3},a_{4}$ 的线性相关性恒成立。
D 项：
$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_{2}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{2}-c_{3}-c_{2}-c_{4}=-c_{3}-c_{4}.$
当 $-c_{3}-c_{4} \neq 0$ 时，$a_{2},a_{3},a_{4}$ 的线性相关不成立。
综上可知，本题的正确选项是：C
EOF
设 $A$, $B$ 为随机事件，若 $0$ $<$ $P(A)$ $<$ $1$, $0$ $<$ $P(B)$ $<$ $1$, 则 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ 的充分必要条件是 ( )
( A ) $P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.
( B ) $P(B|A)$ $<$ $P(B|\bar{A})$.
( C ) $P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.
( D ) $P(\bar{B}|A)$ $<$ $p(B|\bar{A})$.
本题中要找的是“充分必要条件”。根据充分必要条件的含义我们知道，如果事件 $A$ 和 $B$ 要满足充要条件就要有 $A$ $\rightarrow$ $B$ 且 $B$ $\rightarrow$ $A$.
但是，如果满足以下情况，也可以确定 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件：
设有事件 $A$, $B$, $C$, 当存在以下情况：
$A$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $A$ 且 $B$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $B$, 则 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件。
对于本题而言，直接把题目中所给的形式 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ 转换成选项中所给的形式，以及把选项中的形式转换成题目中所给的形式，可能难度比较大。这里我们可以考虑化简题目中所给的形式，之后再化简选项中所给的形式，由于化简过程中都是全程使用的等价符号，因此化简前的原式和化简后得到的形式是互为充要条件的，如果选项中的化简结果和题目中的化简结果一样，则可以说明它们之间存在互为充要条件的关系。
首先对题目中的原式进行化简，根据条件概率的公式，我们有：
$P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}$.
又因为：
$P(A \bar{B})$ $=$ $P[A(1-B)]$ $=$ $P(A-AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AAB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$.
所以有：
原式 $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A) – P(AB)}{1-P(B)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(B)]$ $>$ $P(B)[P(A)-P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(B)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(B)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.
接下来，通过观察题目我们知道，$A$ 选项和 $B$ 选项的区别只是大于和小于符号，$C$ 选项和 $D$ 选项的区别也是如此。因此，我们只需要分别对 $A$ 选项和 $C$ 选项进行计算就可以确定哪个是正确选项了。
对 $A$ 选项进行化简：
$P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P( \bar{A} B)}{P(\bar{A})}$.
又因为：
$P(\bar{A}B)$ $=$ $P[(1-A)B]$ $=$ $P(B-AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(ABB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.
所以有：
$\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(B) – P(AB)}{1-P(A)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(A)]$ $>$ $P(A)[P(B)$ $-$ $P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(A)P(B)$ $-$ $P(A)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.
由此，我们知道，$A$ 选项对，$B$ 选项错。
为了保险起见，我们可以在对 $C$ 选项做一个计算：
$P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B| \bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})}$ $\Rightarrow$ $P(A \bar{B})P(\bar{A})$ $>$ $P(\bar{A}B)P(A)$.
又因为：
$P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$;
$P(\bar{A} B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.
所以有：
$[P(A)$ $-$ $P(AB)][1-P(A)]$ $>$ $[P(B)$ $-$ $P(AB)]P(A)$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $-$ $P(A)P(A)$ $-$ $P(AB)$ $+$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $\nRightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.
因此，可以知道，选项 $C$ 和 $D$ 都不正确。
综上可知，正确选项是：$A$.
EOF
若由 $A$ 能够推导出 $B$, 但是由 $B$ 不能够推导出 $A$, 则称 $A$ 是 $B$ 的充分不必要条件（$B$ 的充分不必要条件是 $A$.）。
从集合的角度看，就是 $A \in B$, 如图 1：
若 $A$, $B$ 为任意两个随机事件，则 ( )
( A ) $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)P(B)$.
( B ) $P(AB)$ $\geqslant$ $P(A)P(B)$.
( C ) $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.
( D ) $P(AB)$ $\geqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.
我们知道，$AB$ $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$.
于是，我们知道，$AB$ $\subset$ $A$, $AB$ $\subset$ $B$.
接下来，根据概率的基本性质中的可比性：
设 $A$, $B$ 是两个事件，若 $A$ $\subset$ $B$, 则有：
$P(A)$ $\leqslant$ $P(B)$;
$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.
于是，我们知道：
$P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$; ①
$P(AB)$ $\leqslant$ $P(B)$. ②
接下来，将 ① 式与 ② 式联立可得：
$P(AB)$ $+$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $2$ $\cdot$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.
综上可知，本题的正确选项是：$C$.
EOF
当 $x\rightarrow0$ 时：
$\tan x$ $\backsim$ $x$
$\sin x$ $\backsim$ $x$
$\arcsin x$ $\backsim$ $x$
$\arctan x$ $\backsim$ $x$
$\ln(1+x)$ $\backsim$ $x$
$e^{x} -1$ $\backsim$ $x$
$1-\cos x$ $\backsim$ $\frac{1}{2}x^{2}$
$x – \ln(1 + x)$ $\backsim$ $\frac{1}{2}x^{2}$
$\tan x – \sin x$ $\backsim$ $\frac{1}{2}x^{3}$
$\arcsin x – \arctan x$ $\backsim$ $\frac{1}{2}x^{3}$
$\tan x – x$ $\backsim$ $\frac{1}{3}x^{3}$
$x – \arctan x$ $\backsim$ $\frac{1}{3}x^{3}$
$x – \sin x$ $\backsim$ $\frac{1}{6}x^{3}$
$(1+x)^{a}-1$ $\backsim$ $ax$
$a^{x}-1$ $\backsim$ $\ln a\times x$
(01) 当 $\beta(x)$ $\rightarrow$ $0$ 且 $\beta(x) \cdot \alpha(x)$ $\rightarrow$ $0$ 时：
$[1 + \beta(x)]^{\alpha(x)} – 1$ $\sim$ $\alpha(x) \beta(x)$
Tips:
- 在上面的等价无穷小公式中，表示常数的符号 $a$ 也可以是一个极限为常数的式子。
例如 $(1+x)^{a}-1$ $\backsim$ $ax$ 这个极限公式中的 $a$ 既可以是一个常数，也可以是一个极限为常数的式子——也就是说，表示 $a$ 的这个式子的极限必须存在。- 当 $x$ 不是趋于零而是趋于某个常数的时候也可以借助上面的等价无穷小公式解题，可以参考《只有当 x 趋于零的时候才能用等价无穷小代换吗？不，x 趋于 1 的时候也可以试试看》。
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