一、前言 
本文介绍了考研数学中在“常微分方程”这一部分会用到的一些基础概念。
继续阅读“常微分方程的一些基础概念”标签： 考研数学二
求解二阶常系数线性齐次微分方程通解的方法
一、前言
本文给出了求解形如下面这样的二阶常系数线性齐次微分方程通解的方法：
$$
y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y = 0
$$
其中，$p$ 和 $q$ 为常数。
解 题 思 路 简 图
解题思路简图锚点
graph LR A(特征方程) --> B(特征值) --> C(根据特征值分类讨论)继续阅读“求解二阶常系数线性齐次微分方程通解的方法”
用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法
一、前言
本文详细阐述了用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法，并通过一些例子强化了对这些方法的掌握。
本文篇幅稍长，初次接触这部分内容的同学一定要放慢阅读脚步，理清思路哦 （￣︶￣）↗
解 题 思 路 简 图
解题思路简图锚点
%%{init: {'theme':'forest'}}%%
graph TB
A(观察右端项的类型) --写出--> B(特解的一般假设形式) --找到特征方程--> C(求出特征根)
A--> D([根据右端项和特征根确定所设特解的确切形式])
C --> D
继续阅读“用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法” 求解方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式
一、题目
方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式是（ ）
难度评级：
本题所用到的知识可以参考：《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》
继续阅读“求解方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式”求解具有特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程
一、题目
具有特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程为（ ）
继续阅读“求解具有特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程”差之毫厘，谬以千里：$\int$ $\frac{1+x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$ 和 $\int$ $\frac{1-x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{1+x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x = ?
$$
$$
\int \frac{1-x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x = ?
$$
这两个式子只相差了一个加减符号，但是计算得出的结果却有很大不同，因此，在求解数学题的时候，一定不能想当然的以为就该有什么样的结果——得出的任何结论都要建立在有效的定理和严格的推理之上。
难度评级：
继续阅读“差之毫厘，谬以千里：$\int$ $\frac{1+x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$ 和 $\int$ $\frac{1-x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$”用“十字相乘法”对二次函数进行分解降幂
一、前言
在本文中，荒原之梦网将通过若干例子，详细说明用于分解类似 $Ax^{2}$ $+$ $Bx$ $+$ $C$ $=$ $0$ 这样的二次函数式的“十字相乘法”。
继续阅读“用“十字相乘法”对二次函数进行分解降幂”用“拟合法”对二次函数进行分解降幂
一、前言
本文使用了一种基于近似的“拟合法”完成对二次函数的分解降幂，相比于“十字相乘法”，拟合法在处理一些系数较小的，以及一些无法写成因式相乘形式的二次函数时更合适。
继续阅读“用“拟合法”对二次函数进行分解降幂”用公式“秒拆” $x^{3}$ $+$ $1$
三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 有理式积分的一般解题思路
一、前言
在本文中，荒原之梦网将阐述一种用于求解由三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 通过有理运算组成的有理式积分的一般思路，还将通过几道例题做进一步的说明和验证。
继续阅读“三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 有理式积分的一般解题思路”巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x = ？
$$
难度评级：
继续阅读“巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$”求解 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合分式积分的通用解法
一、前言
在本文中，我们将讨论形如下面这样的，由三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合所得的分式的积分的通用解法：
$$
\int \frac{c \sin x + d \cos x}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} x
$$
其中，$a$, $b$, $c$, $d$ 为常数。
相关例题：
《加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$》
继续阅读“求解 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合分式积分的通用解法”求解 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足指定条件的特解
一、题目
方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足 $y(0)$ $=$ $0$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $1$ 的特解是多少？
难度评级：
继续阅读“求解 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足指定条件的特解”求解 $z$ $=$ $\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的全微分
一、题目
求解下面这个函数的全微分：
$$
z = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}
$$
难度评级：
继续阅读“求解 $z$ $=$ $\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的全微分”加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$”