加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

观察可知，如果可以将题目中的分子凑成 $\mathrm{d} (\sin x + \cos x)$ 的形式，那么，就可以将分子置为 $1$, 从而可以利用形如下面的公式求解：

$$
\int \frac{1}{\triangle} \mathrm{d} \triangle = \ln \triangle + C.
$$

Next

又：

$$
(\sin x + \cos x)^{\prime} = \cos x – \sin x
$$

Next

因此，为了使题目所给式子的分子含有 $\cos x$ $-$ $\sin x$, 我们可以进行如下“凑”的操作：

$$
\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \Rightarrow
$$

$$
(-1) \cdot \int \frac{-\sin x}{\sin x + \cos x} \Rightarrow
$$

$$
(-1) \cdot \int \frac{(-\sin x + \cos x) – \cos x}{\sin x + \cos x} \Rightarrow
$$

$$
(-1) \cdot \int \frac{(-\sin x + \cos x) – \cos x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x.
$$

Next

但在上式中，计算 $\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}$ 的积分同样很困难，所以，我们可以继续“凑”，也就是再分子上在添加一个 $- \sin x$:

$$
(-1) \cdot \int \frac{(-\sin x + \cos x) – \cos x – \sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x.
$$

Next

但这样一来，分子上就相当于是 $2 \sin x$ 而不是原来的 $\sin x$ 了——于是，我们需要乘上一个 $\frac{1}{2}$:

$$
(-\frac{1}{2}) \cdot \int \frac{(-\sin x + \cos x) – \cos x – \sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x.
$$

Next

从而，有：

$$
\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x =
$$

$$
(-\frac{1}{2}) \cdot \int \frac{(-\sin x + \cos x) – \cos x – \sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x =
$$

Next

$$
(-\frac{1}{2}) \cdot \int \frac{\mathrm{d} (\sin x + \cos x) – (\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x =
$$

$$
(-\frac{1}{2}) \cdot \Bigg[ \int \frac{\mathrm{d} (\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x – \int \frac{\cos x + \sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x \Bigg] =
$$

$$
(-\frac{1}{2}) \cdot \Bigg[ \int \frac{1}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} (\sin x + \cos x) – \int 1 \mathrm{d} x \Bigg] =
$$

Next

$$
\frac{1}{2} \cdot \Bigg[\int 1 \mathrm{d} x – \int \frac{1}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} (\sin x + \cos x) \Bigg] =
$$

$$
\frac{1}{2} x – \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。

---