已知，$u$ $=$ $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 其中，$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0$ 有二阶连续的偏导数，且满足：
$$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$$
则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=?$
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继续阅读“以复合函数为桥梁，将“偏导”变为“导”，进而转化为微分方程”北京时间 2023 年 09 月 13 日上午 09 时左右，荒原之梦网主站点所在的服务器磁盘文件爆满，有效存储空间耗尽，导致站点持续出现 504 和 502 错误。经紧急排查抢修，目前已经全面恢复正常，站点文件未发现受损特征，大家可以继续放心浏览和学习。
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2023年9月13日
已知，$y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0)$ $=b$ 的特解，其中 $m>n>0$, 则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=?$
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继续阅读“无论什么样的二阶微分方程问题，先求解特征根总没错”已知，$y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}$, $y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，请确定此微分方程的形式。
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继续阅读“你知道怎么确定已知解的哪部分是非齐次微分方程的特解吗？”已知，连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t$ $=$ $x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)=?$
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继续阅读“遇到负号一定要慎之又慎：千万不要心算，要写出来算！”方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=(6 x+2) \mathrm{e}^{x}$ 满足条件 $y(0)=3$, $y^{\prime}(0)=0$ 的特解 $Y=?$
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继续阅读“二阶非齐次微分方程满足一定条件特解的计算步骤你还记得吗？”微分方程 $y y^{\prime \prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$, $y^{\prime}(0)=-1$ 的特解是多少？
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继续阅读“可降解的微分方程的主要特征：式子中没有 x”微分方程 $(x \tan y+\sin 2 y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=1$ 满足 $y(0)=0$ 的特解是多少？
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继续阅读“在一阶微分方程中，哪个变量更“简单”就把哪个变量看做因变量处理”已知，$g(x)$ 有连续的导数, $g(0)=0$, $g^{\prime}(0)=a \neq 0$, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连
续，则 $\lim \limits_{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=?$
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继续阅读“积分中值定理在二重积分中的应用”已知，$f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)$ $=$ $x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$, 其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x= 1$ 所围区域，则 $f(x, y)=?$
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继续阅读“当被积函数可以分离的时候，四重积分就是两个二重积分的积”已知，$g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $f(1)=0$, $\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1012$, 则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t = ?$
Note
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[01] .《反函数的性质汇总》
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继续阅读“反函数与其自身反函数的复合函数一定等于 x”
在《求解反函数的导数，你真的会吗？（首先需要知道什么是反函数）》这篇文章中，我们掌握了什么是反函数，以及反函数求导的方法。
那么，反函数都有着怎样的性质呢？在这篇文章中，就让我们一探究竟。
继续阅读“反函数的性质汇总”我们知道，函数的导数等于其对应的反函数导数的倒数，即：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}}
$$
但是，你真的会利用上面的性质计算反函数的导数吗？
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继续阅读“求解反函数的导数，你真的会吗？（首先需要知道什么是反函数）”$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)} \mathrm{~ d} x = ?
$$
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继续阅读“对于无法凑项消去的反常积分可以尝试倒数代换或者三角代换”已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=?$
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继续阅读“解题的时候一定要穷尽所有可能的答案”