「荒原之梦考研数学」文章 – 第 28 页

一、前言

在高等数学的学习中，我们会遇到两种“零”：等于零（$= 0$）和趋于零（$\rightarrow 0$）。

那么，在计算的时候，这两种“零”有哪些不同点和相同点呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一知识点。

继续阅读

每日箴言：能站在如此多巨人的肩膀上看世界，我们是多么荣幸！

每一个优美的定理、每一个经典的故事、每一本厚重的书籍，都是一个个台阶，一位位伟人。我们又是多么幸运，可以只花费很少的代价，就能汲取这些丰富的营养，看到如此深入的洞察。

而我们需要做的，就是学习他们，乃至超越他们。

2024 年 08 月 07 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

⁜ 图片信息 ⁜
描述：图为山韭（Allium senescens subsp. glaucum）的花蕾，由 71 幅照片叠焦而成。
作者：Agnes Monkelbaan
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 07 月 18 日 07 时 51 分 17 秒
相机坐标：东经 5° 47′ 04.2″, 北纬 52° 58′ 02.82″
来源：wikipedia.org

封闭曲线的弧长不一定是周长

一、题目

已知 $0$ $\leqslant$ $\theta$ $\leqslant$ $3 \pi$, 且：

$$
r(\theta) = \left( \sin \frac{\theta}{3} \right) ^{3}
$$

则曲线 $r(\theta)$ 的弧长是多少？

有时候，曲线 $r(\theta)$ 的极坐标方程也写作：$r(\theta)$ $=$ $\sin ^{3} \frac{\theta}{3}$.

难度评级：

继续阅读

每日箴言：岁月的刻痕可以写下懊悔，也可以写下无悔

日复一日，年复一年，我们逐渐褪去稚嫩和天真，逐渐成熟乃至久经风霜，但岁月之笔为我们写下的个人史的主基调，可以是懊悔，也可以是无悔。

懊悔之事是对人生价值的减法，无悔之事是对人生价值的加法，多做加法，少做减法，才能实现价值的积累，以至量变而质变，成为一个值得肯定与尊敬的人。

2024 年 08 月 06 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：图为喷发中的老忠实间歇泉，摄于美国黄石国家公园。
作者：Dietmar Rabich
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2022 年 06 月 22 日 14 时 10 分
物体坐标：西经 110° 49′ 41.38″, 北纬 44° 27′ 36.83″
相机坐标：西经 110° 49′ 37.02″, 北纬 44° 27′ 36.03″
来源：wikipedia.org

积分上限和积分下限相等的定积分一定等于零

一、题目

已知 $c > 0$ 为常数，且：

$$
f(x) = \int_{c ^{2}}^{x ^{2}} \frac{\sin k}{k} \mathrm{~d} k
$$

则：

$$
I = \int_{0}^{c} x f(x) \mathrm{~d} x
$$

难度评级：

继续阅读

每日箴言：默默地努力从来不是为了一鸣惊人，而是为了遵从内心

努力实现梦想的一部分意义是为了获得世俗价值观上的成功，但努力实现梦想的过程才更加重要，因为这个过程将极大的丰富我们的人生履历，满足我们内心对价值的真正渴求。

所以，一朝成功之后就自甘堕落的人，就是过于看重努力的结果，而非享受努力的过程，没有保持冷静听从内心的声音，被外界的嘈杂淹没了光芒，进而泯然众人。

2024 年 08 月 05 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：图为奥地利维也纳城市公园库尔沙龙音乐厅前的花钟。
作者：Diego Delso
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2020 年 01 月 31 日 17 时 54 分 02 秒
相机坐标：东经 16° 22′ 41.3″, 北纬 48° 12′ 14.59″
来源：wikipedia.org

一重积分的问题用二重积分求解

一、题目

已知 $y ^{\prime} (x)$ $=$ $\arctan (1 – x)^{2}$, $y(0)$ $=$ $1$, 则：

$$
I = \int_{0}^{1} y(x) \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读

每日箴言：越努力，就能邂逅越多的快乐

快乐诞生于痛苦中之中，或者说，快乐诞生于辛勤的劳动、繁忙的工作和不懈的努力奋斗之中——有了这些使筋骨体肤，以至内心灵魂都感到痛苦的“快乐源泉”，我们才能不断地邂逅一个又一个快乐。

2024 年 08 月 04 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：图为在孟加拉罗塔古尔沼泽森林的绍里戈约因河上泛舟的孩童。
作者：Abdulmominbd
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2017 年 11 月 02 日 11 时 05 分 40 秒
相机坐标：东经 91° 55′ 54.12″, 北纬 25° 01′ 03.36″
来源：wikipedia.org

如果不能完全去掉根号，也要想办法把根号“挤”到分子上

一、题目

$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left[ \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1 } – \frac{ \ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x} \times \sqrt{x^{2} + x + 1 } \right] \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$

难度评级：

继续阅读

每日箴言：随时准备一个 PlanB, 永远不要一条筋

“破釜沉舟”的确是一种勇气，但往往是悲壮的英雄主义。真正能驾驶航船劈波斩浪的人，常常都有着能够应对各种情况的备选方案。

人生也如一条航船，我们需要的不是逞强式的“破釜沉舟”，而是“有备无患”。

2024 年 08 月 03 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：图为从尼泊尔特里村远眺加利甘达基谷的景观。
作者：Faj2323
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2016 年 03 月 22 日 16 时 08 分 44 秒
相机坐标：东经 83° 47′ 00″, 北纬 28° 51′ 06″
来源：wikipedia.org

交集和并集相等的两个事件一定是相同的事件

一、题目

已知，事件 $A$, $B$, $C$ 之间存在如下关系：

$$
( \overline { A \cup B } ) C = \bar { A } C \cup \bar{B} C
$$

则下列说法正确的是哪个？

[A] $A$ $=$ $B$ $=$ $\bar{C}$

[B] $\bar{A} B C$ $=$ $\varnothing$

[C] $A$ $\cup$ $B$ $\subset$ $\bar{C}$

[D] $A$ $\subset$ $B$ $\subset$ $\bar{C}$

难度评级：

继续阅读

每日箴言：也许个体与个体之间是永远无法真正交流的

一个人有一个人的世界，我们甚至永远不可能看到和别人眼中看到的一模一样的风景，更不可能真正的体会别人的快乐与悲伤——所谓的共情，也是只是拙劣的“翻译”，我们以为懂了的，其实只是以为懂了。

也许人类就是如此的孤独，我们虽然有语言，但和没有语言的植物树木或许并无区别，我们只能像木偶一样，用训练得似乎很得体的表情与动作，表达着我们内心的想法，然而，我们真正能够呈现的，只是内心的轮廓。

2024 年 08 月 02 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：图为德国巴伐利亚州米尔滕贝格市（德语：Miltenberg）主河的桥上的门楼。
作者：Jörg Braukmann
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 04 月 19 日 16 时 53 分 04 秒
相机坐标：东经 9° 15′ 19.33″, 北纬 49° 42′ 07.09″
来源：wikipedia.org

大于 1 和小于 1 大不相同

一、前言

在计算的时候，一个数字是大于 $1$, 还是小于 $1$ 可能对应着不同的结果，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给大家列举一些常见的情况，以便同学们在做题的时候加以注意。

继续阅读

每日箴言：人生就像划过黑板的粉笔，每一天都在失去，每一天也都在获取

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Dominicus Johannes Bergsma

粉笔划过黑板，会变得越来越短，但写出的内容也越来越多。人生也是一样的不断在失去，失去童年、失去青春、失去一年年、一岁岁，但我们也将获取，获取更多的见识与价值，用岁月的刻痕，书写自己人生的一笔一划。

2024 年 08 月 01 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：图为凤梨百合（Eucomis）的苞片，由 16 张照片叠焦而成。
作者：Dominicus Johannes Bergsma
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 06 月 07 日 15 时 24 分
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

对含有 e 的式子进行快速求导的方法

一、前言

考场上的每一分每一秒都很关键，所以，在保证正确的情况下，做题速度越快，竞争优势也就越大。为此，「荒原之梦考研数学」为同学们总结归纳了对含有 $\textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x}$ 或者 $\textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{kx}$ 的多项式（其中 $k$ 为常数）进行求导的快速方法。

继续阅读