「荒原之梦考研数学」文章 – 第 28 页

一、前言

泰勒公式有很多用处，例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式，可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式，或者说常见的麦克劳林公式。

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每日箴言：真正的威猛不是藐视世界，而是怜悯众生

人的优越，不是来自贬低别人，而是来自提升自己；人的威猛，不是来自藐视别人，而是来自怜悯众生。

2024 年 08 月 17 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：丹麦奥尔堡动物园的东北虎。
作者：Malene Thyssen
授权协议：本文件采用知识共享署名 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2004 年 03 月 21 日
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解

一、题目

已知 $\boldsymbol{\eta}_{1}$, $\boldsymbol{\eta}_{2}$, $\boldsymbol{\eta}_{3}$ 均是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，若 $k_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ $+$ $k_{3} \boldsymbol{\eta}_{3}$ 也是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，则 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$ 应满足：

[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$

[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$

[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$

[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$

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每日箴言：没有完美的事物，只有平衡的心态

月有阴晴圆缺，人也有悲欢离合，不可能事事如意，但也不必为过去懊悔，对未来担忧。过好每一天，做好当下事，过去的就随风而逝，未来的就静待明天。

2024 年 08 月 16 日

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描述：在比利时阿莫瓦市拍摄到的月球表面。
作者：Luc Viatour
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 10 月 07 日 22 时 51 分
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n-1$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的两个不同的解，$k$ 是任意常数，则以下哪个选项一定是 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的通解？

[A]. $k \boldsymbol{\alpha}_{1}$

[B]. $k \boldsymbol{\alpha}_{2}$

[C]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$

[D]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$

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每日箴言：倾听内心，每一刻都是永恒

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：United States Air Force photo by Senior Airman Joshua Strang (ID: 050118-F-3488S-003)

我
不知道河流的长度
不知道山峰的海拔
不知道岁月的年龄

我
只知道此刻阳光温热
只知道脚下土地深沉
只知道远方灯火阑珊

一百年、一千年、一万年
都不是永恒
永恒的只有当下
是的
就是此时此刻
就是此情此景
这才是最真实的永恒
可以闻到、听到和看到的永恒

2024 年 08 月 15 日

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描述：在美国阿拉斯加州埃尔森空军基地拍摄到的北极光。
作者：United States Air Force photo by Senior Airman Joshua Strang (ID: 050118-F-3488S-003)
授权协议：公有领域授权。
拍摄时间（当地时间）：2005 年 01 月 19 日 16 时 37 分
相机坐标：西经 147° 06′ 21.49″, 北纬 64° 41′ 49.34″
来源：wikipedia.org

利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C

一、题目

已知：

$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

$$
\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}
$$

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每日箴言：离开一个地方，就是封存了一次记忆

离开一个地方，也许在若干年后故地重返时，早已物是人非，陌生的景象，覆盖上记忆中模糊的残影，在或近或远的亲近与疏离之中，一点点窥探过去的记忆，也一步步告别过去的自己。

2024 年 08 月 14 日

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描述：图为位于美国犹他州格兰德县的县治摩押城附近的峡谷地国家公园的印第安溪攀岩区。
作者：Crystal
授权协议：本文件采用知识共享署名 2.0 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2010 年 04 月 14 日 23 时 54 分 34 秒
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵

一、前言

关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。

在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。

对称初等变换示意图

graph TD
	O{O} --第 1 行与第 2 行的初等变换--> A1[A1];
	O --第 1 列与第 2 列的初等变换--> B1[B1];
	A1 --第 2 行与第 3 行的初等变换--> A2[A2];
	B1 --第 2 列与第 3 列的初等变换--> B2[B2];
	A2 --第 i 行与第 j 行的初等变换--> A[A];
	B2 --第 i 列与第 j 列的初等变换--> B[B];
	A --> C[A 和 B 互为转置矩阵];
	B --> C;

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每日箴言：划破夜空的列车如同晶莹的水珠，让大地保持活力

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Wilfredo Rafael Rodriguez Hernandez

有人说，如果一个城市还有建筑工地的嘈杂声，那就意味着这个城市仍然生机勃勃。其实，一列列火车的飞驰，也是在让大地保持活力，因为，只有交流互通，才能产生发展和进步。

2024 年 08 月 13 日

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描述：异色瓢虫（Harmonia axyridis var. succinea），摄于加拿大东北部的魁北克省。魁北克省的官方语言为法语，这里也是北美洲说法语的人口最集中的地区。
作者：Wilfredo Rafael Rodriguez Hernandez
授权协议：本作品采用知识共享 CC0 1.0 通用公有领域贡献许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 09 月 03 日 10 时 38 分 15 秒
相机坐标：西经 71° 14′ 37.81″, 北纬 46° 47′ 21.64″
来源：wikipedia.org

单位矩阵可以用来记录初等变换

一、前言

线性代数中的“单位矩阵（$\boldsymbol{E}$）”是一个非常特别的矩阵，这个矩阵非常简单，以至于可以用来记录初等变换的过程。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。

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每日箴言：真正的体面来自独立且坚韧的人格

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Michael D Beckwith

西装革履只是“体面”的装饰物，真正的体面是不屈不挠的努力奋斗，坚守良知的处事准则，以及饱满且充满活力的内心理想，这些都是独立人格的组成部分，而只有独立人格，才是体面赖以生长的沃土。

2024 年 08 月 12 日

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描述：位于苏格兰梅尔罗斯城的阿伯茨福德庄园内的自习室。
作者：Michael D Beckwith
授权协议：本作品采用知识共享 CC0 1.0 通用公有领域贡献许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2018 年 03 月 06 日 13 时 46 分 09 秒
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

线性代数中的 E12, E23 表示什么意思？

一、前言

在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的如下写法：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{E}_{12} \quad \boldsymbol{E}_{23} \quad \boldsymbol{E}_{31} \quad \cdots
\end{aligned}
$$

那么，上面这种写法表示什么意思呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。

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每日箴言：连绵的山峰是地球的年轮

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Vyacheslav Argenberg

一座座山峦，记录了这颗星球亿万年间的不断变迁，一朵云的拂过，也会在山间留下自己的色彩。

2024 年 08 月 11 日

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描述：喜马拉雅山脉的乔拉杰峰（海拔 6440 米）、阿玛达布拉姆峰（海拔 6856 米）和其他山峰
作者：Vyacheslav Argenberg
授权协议：本文件采用知识共享署名 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2009 年 10 月 18 日 11 时 53 分 41 秒
相机坐标：东经 86° 45′ 36″, 北纬 27° 57′ 14.4″
来源：wikipedia.org