月度归档： 2024 年 2 月

一、题目

已知：

$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\arctan x}-\mathrm{e}^{\arcsin x}}{x^{3}}
\end{aligned}
$$

则：

$$
I \ = \ ?
$$

难度评级：

继续阅读“这个分子可以首先进行有理化操作吗？”

一、题目

已知：

$$
\begin{aligned}
I & = \\
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\arctan x}}{x-\sin x}
\end{aligned}
$$

则：

$$
I \ = \ ?
$$

难度评级：

继续阅读“分子是两式相减等于零的极限怎么算？先做分子有理化”

一、题目

已知：

$$
\begin{aligned}
I & = \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\sqrt{n^{2}-1^{2}}}{n^{2}}+\frac{2+\sqrt{n^{2}-2^{2}}}{n^{2}}+\cdots+\frac{n+\sqrt{n^{2}-n^{2}}}{n^{2}}\right)
\end{aligned}
$$

则：

$$
I \ = \ ?
$$

难度评级：

继续阅读“无穷多项的数列问题常常可以利用定积分的定义转化为定积分”

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ $=$ $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$, 则 $a = ?$

难度评级：

继续阅读“使用 e 抬起运算法的注意事项：分清楚数字 1 和极限 1”

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{\sqrt{1-x^{2}}-1} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“等价无穷小公式用不上怎么办：加加减减，恒等变形”

一、题目

$$
I= \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=?
$$

难度评级：

继续阅读“怎么判断是否需要交换二重积分得积分次序？”

一、题目

已知 $y=x z$，$z=z(x, y)$ 由方程 $\frac{x}{z}$ $=$ $\ln \frac{z}{y}$ 确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{x=\frac{1}{e}}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“在这道题目中 y 是 x 的函数吗？”

一、题目

$f(x)$ $=$ $x^{x}(1-x)^{1-x}$ 在区间 $x \in (0,1)$ 内的最小值为 ( $\quad$ )

难度评级：

继续阅读“复杂幂指函数求导不要用“$\mathrm{e}$ 抬起”，而要用“$\ln$ 落下””

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=A$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{e^{f(x)}-e^{a}}{\sin (x-a)}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“无穷小量的计算技巧：通过改变次幂的方式提取公倍数”

一、题目

已知 $x=x(t)$ 由方程 $\sin t$ $-$ $\int_{1}^{x-t} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u$ $=$ $0$ 所确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}\right|_{t=0}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“变限积分求高阶导：分清谁是变量，能求出的先求出，能代入的先代入”

一、题目

已知 $x \geqslant -1$, 则 $\int_{-1}^{x} (1 – |t|) \mathrm{~d} t = ?$

难度评级：

继续阅读“在变限积分中先分清谁要被看作常数，再讨论去根号的方式”

一、题目

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\tan x \cdot\left[\int_{0}^{x} e^{-(x-t)^{2}} \mathrm{~d} t-x\right]} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“无穷小量计算的技巧：抛砖引玉式解法”