正定矩阵:各阶顺序主子式都大于零

一、题目题目 - 荒原之梦

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标准型是特征值,规范型是正负 1

一、题目题目 - 荒原之梦

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是哪个?

(A) $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(B) $z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(C) $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(D) $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$

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写二次型矩阵的时候一定要将二次型中一次项的系数平分后写在矩阵主对角线两侧吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

若二次型 $x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+8 x_{2} x_{3}$, 在下列矩阵运算中, 得到二次型的是:

(A) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(B) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(C) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(D) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 4 \\ -2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

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如果两个矩阵相似,那么这两个矩阵的哪些变体也是相似的?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则下列命题中正确的有:

(1) $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$

(2) $\boldsymbol{A}^{2} \sim \boldsymbol{B}^{2}$

(3) $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$

(4) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}}$

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相似的矩阵秩一定相等

一、题目题目 - 荒原之梦

已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,-1$, 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则下列矩阵中可逆矩阵是哪个?

(A) $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}$

(B) $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}$

(C) $\boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{E}$

(D) $\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$

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秩不相等的矩阵一定不相似,主对角线上的元素不对应相等的矩阵一定不相似

一、题目题目 - 荒原之梦

下列矩阵中, $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是哪个?

(A) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$

(B) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$

(C) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$

(D) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]$

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相似对角化的条件:所有特征向量都必须是线性无关的

一、题目题目 - 荒原之梦

下列矩阵中,不能相似对角化的是:

(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]$

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只有属于同一个特征值的特征向量在四则运算之后仍然是该特征值的特征向量

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已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, 特征值是 $2,2,-5$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 关于 $\lambda=2$ 的线性无关的特征向量, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 对应于 $\lambda=-5$ 的特征向量. 若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{rr}2 & & \\ & 2 & \\ & & -5\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}$ 不能是:

(A) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

(B) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 5 \boldsymbol{\alpha}_{1}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

(C) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

(D) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

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矩阵 A 与其变体一定具有相同的特征向量吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 下列命题中正确的是哪个?

(A) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$ 的特征向量, 那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(B) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的特征向量,那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(C) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{2}$ 的特征向量,那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(D) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $2 \boldsymbol{A}$ 的特征向量, 那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

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在选择题中如何寻找特征向量:只要前两项没有公倍数就不用往后算了

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矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & -3\end{array}\right]$ 有一个特征向量是:

(A) $(1,0,-1)^{\mathrm{\top}}$

(B) $(3,3,-6)^{\mathrm{\top}}$

(C) $(4,-1,2)^{\mathrm{\top}}$

(D) $(1,1,-2)^{\mathrm{\top}}$

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秩为 $1$ 的矩阵的特征值可能都等于零

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已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $\lambda=0$

(A) 必是 $A$ 的二重特征值

(B) 至少是 $A$ 的二重特征值

(C) 至多是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值

(D) 一重、二重、三重特征值都有可能

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矩阵和其转置矩阵具有相同的特征值

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若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 那么与 $\boldsymbol{A}$ 有相同特征值的矩阵是:

(A) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$

(B) $A^{2}$

(C) $\boldsymbol{A}^{-1}$

(D) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

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通过基础解系找到系数矩阵中线性无关的列向量

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已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ 是四阶矩阵,$\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,-2,3,1)^{\mathrm{\top}}$ 和 $\boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,0,-2)^{\mathrm{\top}}$ 是 $A x=0$ 的基础解系,则必有:

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关

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构成基础解系的各个向量必须是线性无关的

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已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是齐次方程组 $A x=\mathbf{0}$ 的基础解系,则 $A x=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是哪个?

(A) 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等价的向量组

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$

(C) 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等秩的向量组

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$

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