正定矩阵：各阶顺序主子式都大于零

一、题目

下面的矩阵中，正定矩阵是哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 8\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{rrr}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right]$

难度评级：

二、解析

A 选项：

$$
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & 2\\ 2 & 4
\end{vmatrix} = 4-4=0
$$

因此，A 项的矩阵不是正定矩阵。

B 选项：

$$
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 8\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 8
\end{vmatrix} = 40 – 32 – 9 = -1
$$

因此，B 项的矩阵不是正定矩阵。

C 选项：

$$
2 > 0
$$

$$
\begin{vmatrix}
2 & 2 \\ 2 & 5
\end{vmatrix} = 10 – 4 = 6 > 0
$$

$$
\begin{vmatrix}
2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5
\end{vmatrix} = 50 + 16 + 16 – 20 – 20 – 32 = 10 > 0
$$

因此，C 项的矩阵是正定矩阵。

D 选项：

$$
\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0
\end{vmatrix} = 0 + 6 + 6 – 1 – 45 < 0
$$

因此，D 项的矩阵是正定矩阵。

综上可知，本题正确选项为 C.

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