一、题目
已知，$g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $f(1)=0$, $\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1012$, 则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t = ?$
Note
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[01] .《反函数的性质汇总》
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继续阅读“反函数与其自身反函数的复合函数一定等于 x”月度归档： 2023 年 9 月
反函数的性质汇总
一、前言 
在《求解反函数的导数，你真的会吗？（首先需要知道什么是反函数）》这篇文章中，我们掌握了什么是反函数，以及反函数求导的方法。
那么，反函数都有着怎样的性质呢？在这篇文章中，就让我们一探究竟。
继续阅读“反函数的性质汇总”求解反函数的导数，你真的会吗？（首先需要知道什么是反函数）
一、前言
我们知道，函数的导数等于其对应的反函数导数的倒数，即：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}}
$$
但是，你真的会利用上面的性质计算反函数的导数吗？
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继续阅读“求解反函数的导数，你真的会吗？（首先需要知道什么是反函数）”对于无法凑项消去的反常积分可以尝试倒数代换或者三角代换
一、题目
$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)} \mathrm{~ d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“对于无法凑项消去的反常积分可以尝试倒数代换或者三角代换”解题的时候一定要穷尽所有可能的答案
一、题目
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“解题的时候一定要穷尽所有可能的答案”这个式子看上去挺复杂的，但其实很简单：一定要相信考试题目不会超纲
一、题目
求解曲线 $3 x^{3}=y^{5}+2 y^{3}$ 在 $x=1$ 对应点处的法线的斜率 $k$.
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继续阅读“这个式子看上去挺复杂的，但其实很简单：一定要相信考试题目不会超纲”用公式法求解隐函数的偏导数时要对所有变量“一视同仁”：公式法求偏导时没有谁是谁的函数，谁是谁的自变量之别
一、题目
已知，函数 $z=z(x, y)$ 由 $\mathrm{e}^{z}+x z=2 x-y$ 确定，则 $\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{(1,1)}=?$
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继续阅读“用公式法求解隐函数的偏导数时要对所有变量“一视同仁”：公式法求偏导时没有谁是谁的函数，谁是谁的自变量之别”计算平面曲线的弧长需要知道积分上下限，但如果这个积分上线限题目中没有给出该怎么办？
一、题目
曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的弧长等于多少？
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继续阅读“计算平面曲线的弧长需要知道积分上下限，但如果这个积分上线限题目中没有给出该怎么办？”一般情况下，二次幂或者三次幂及以下的麦克劳林公式（泰勒公式）可以直接用等价无穷小代替
一、题目
已知 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a b=?$
难度评级：
继续阅读“一般情况下，二次幂或者三次幂及以下的麦克劳林公式（泰勒公式）可以直接用等价无穷小代替”这道题中的矩阵虽然很“宽”，但其实是一个单列矩阵
一、题目
已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足对任意 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均有 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ x_{2}-x_{3}\end{array}\right)$. 请求解以下两个问题：
[1]. 求 $A$;
[2]. 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$.
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继续阅读“这道题中的矩阵虽然很“宽”，但其实是一个单列矩阵”如果一个函数存在原函数，那么这个原函数一定是连续的
一、题目
写出函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, & x \leq 0, \\ (x+1) \cos x, & x>0\end{array}\right.$ 的原函数。
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继续阅读“如果一个函数存在原函数，那么这个原函数一定是连续的”函数斜渐近线的方程一定需要分正负无穷大分别讨论吗？
一、题目
曲线 $y$ $=$ $x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程是多少？
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继续阅读“函数斜渐近线的方程一定需要分正负无穷大分别讨论吗？”只有当二阶齐次微分方程有虚数特征根，且该特征根的实部等于零的时候才会存在有界的通解
一、题目
已知，微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $a$ 和 $b$ 的取值范围是多少？
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继续阅读“只有当二阶齐次微分方程有虚数特征根，且该特征根的实部等于零的时候才会存在有界的通解”求解定积分时灵活变换积分上下限也很重要
一、题目
已知，连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x$ 和 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ 这两个条件，则 $\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=?$
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继续阅读“求解定积分时灵活变换积分上下限也很重要”有极值点没有拐点的曲线你见过吗？
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\left(x^{2}+a\right) \mathrm{e}^{x}$, 且 $f(x)$ 没有极值点, 但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是多少？
难度评级：
继续阅读“有极值点没有拐点的曲线你见过吗？”