月度归档： 2023 年 4 月

一、题目

已知：

$$
f(x) = x^{2} (x+1)^{2} (x+2)^{2} (x+3)^{2}.
$$

则 $f^{\prime \prime}(0) = ?$

难度评级：

继续阅读“复杂的式子千万不要使用常规方法求解：整体代换，化繁为简”

一、前言

本文通过举例的方式讨论了如下结论：

求导会降阶，积分会升阶。

继续阅读“求导会降阶，积分会升阶”

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 – \sin x}}{e^{x} – 1} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“两种方法去根号：有理化或等价无穷小”

一、前言

根据荒原之梦网的《高等数学中常用的等价无穷小》这篇文章可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\begin{cases}
& (1 + x)^{a} \sim ax; \\
& \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim x.
\end{cases}
$$

其中，$a$ 为常数。

在实际应用中，我们可以将上面的等价无穷小组合起来，形成新的“变体”，在本文中，将给出几个相关的例子。

继续阅读“等价无穷小的组合变体：以 $(1 + x)^{a} \sim ax$ 为例”

一、题目

已知 $a, b, c$ 均为非零常数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a + b \textcolor{orange}{e^{\frac{1}{x}}}}{a – b \textcolor{orange}{e^{\frac{1}{x}}}} \cdot \frac{\sin cx}{|x|} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“遇到关于 e 的函数式一定要注意“正负””

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续，且有 $f(1) = 1$, 则 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\ln [ 2 + f(x^{\frac{1}{x}}) ]$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“巧设特例，秒解题：一定要保证特例符合题意”

一、前言

在本文中，荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——

对于这类问题，我们有两种解决思路：

1. 由已知式推导未知式；
2. 由未知式反推已知式。

在本文中，我们将看到对上面这两种思路的应用。

继续阅读“由一个形式的极限推导另一个形式的极限：以两道典型题目为例”

一、题目

已知 $x_{0}$ $=$ $0$, 且 $x_{n}$ $=$ $\frac{1 + 2 x_{n-1}}{1 + x_{n-1}}$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$, 则 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“单调有界即收敛，设出极限求极限”

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} n^{2} \big( \arctan \frac{2}{n} – \arctan \frac{2}{n+1} \big) = ?
$$

难度评级：

继续阅读“三种方法解一道数列极限题”

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x^{a} \ln (x^{2} + x) = ?
$$

其中，$a > 0$.

难度评级：

继续阅读“用拆分对数函数和洛必达运算求解一道极限题”

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} ( 2^{\frac{1}{x}} – 2^{\frac{1}{x + 1}} ) = ?
$$

难度评级：

继续阅读“看到无穷大，就要想转为无穷小：因为无穷小能用的解题工具更多”

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( e^{x^{2}} + x^{3} )^{\frac{1}{x^{2}}} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“指数函数的增长速度远大于幂函数——你会区分指数函数和幂函数吗？”

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 – \sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin^{2} x^{2}} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“消根号的思路之“次幂归一”法”

一、前言

本文将介绍一种通用的方法，可以计算出当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，所有 $1$ $-$ $(\cos cx)^{\frac{b}{a}}$ 类型式子的等价无穷小。

难度评级：

继续阅读“对涉及 cos x 的等价无穷小的解题方法总结”