一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \big( \sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x} \big) = ?
$$
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继续阅读“两种方法求解 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $($ $\sqrt{x^{2} + x}$ $-$ $\sqrt{x^{2} – x}$ $)$”$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \big( \sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x} \big) = ?
$$
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继续阅读“两种方法求解 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $($ $\sqrt{x^{2} + x}$ $-$ $\sqrt{x^{2} – x}$ $)$”$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \big( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \big)^{x} = ?
$$
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继续阅读“两种方法计算:$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $($ $\sin \frac{2}{x}$ $+$ $\cos \frac{1}{x}$ $)^{x}$”已知 $f(x + \frac{1}{x})$ $=$ $x^{2}$ $+$ $\frac{1}{x^{2}}$, 求解 $\lim_{x \rightarrow 3}$ $f(x)$.
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继续阅读“多角度思考解题思路:以一道变量代换题目为例”微分方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是( )
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继续阅读“$y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是多少?”微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是( )
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继续阅读“微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是多少?”求三阶微分方程 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值 $y(0)$ $=$ $4$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $4$, $y^{\prime \prime}(0)$ $=$ $0$ 的特解 $y^{*}$.
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继续阅读“求三阶微分方程 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值的特解 $y^{*}$”求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{2xy – y^{2}}{x^{2} – 2xy}$ 满足 $y(1)$ $=$ $-2$ 的特解。
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继续阅读“求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{2xy – y^{2}}{x^{2} – 2xy}$ 满足指定条件的特解”已知函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数, 且满足 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $\left(x^{2} – t^{2} \right)$ $f^{\prime}(t)$ $\mathrm{d} t$ $+$ $x^{2}$, 求 $f(x)$ 的表达式。
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继续阅读“变限积分+微分方程:已知 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $\left( x^{2} – t^{2} \right)$ $f^{\prime}(t)$ $\mathrm{d} t$ $+$ $x^{2}$ 求 $f(x)$”方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^x$ $+$ $1$ $+$ $\sin x$ 的特解形式为( )
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继续阅读“写出方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^x$ $+$ $1$ $+$ $\sin x$ 的特解形式”本文给出了求解形如下面这样的二阶常系数线性齐次微分方程通解的方法:
$$
y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y = 0
$$
其中,$p$ 和 $q$ 为常数。
继续阅读“求解二阶常系数线性齐次微分方程通解的方法”本文详细阐述了用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法,并通过一些例子强化了对这些方法的掌握。
继续阅读“用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法”本文篇幅稍长,初次接触这部分内容的同学一定要放慢阅读脚步,理清思路哦 ( ̄︶ ̄)↗
方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式是( )
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本题所用到的知识可以参考:《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》
继续阅读“求解方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式”具有特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程为( )
继续阅读“求解具有特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程”$$
\int \frac{1+x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x = ?
$$
$$
\int \frac{1-x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x = ?
$$
这两个式子只相差了一个加减符号,但是计算得出的结果却有很大不同,因此,在求解数学题的时候,一定不能想当然的以为就该有什么样的结果——得出的任何结论都要建立在有效的定理和严格的推理之上。
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继续阅读“差之毫厘,谬以千里:$\int$ $\frac{1+x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$ 和 $\int$ $\frac{1-x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$”