5 月 2022 - 荒原之梦

极限与无穷小的关系（B001）

问题

已知存在极限 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ 和无穷小 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $\alpha(x)$ $=$ $0$, 则以下关于极限和无穷小的关系中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $f(x)$ $\color{White}{\neq}$ $A$ $+$ $\alpha(x)$

[B]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $f(x)$ $\color{White}{=}$ $A$ $+$ $\alpha(x)$

[C]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $f(x)$ $\color{White}{<}$ $A$ $+$ $\alpha(x)$

[D]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $f(x)$ $\color{White}{>}$ $A$ $+$ $\alpha(x)$

答案

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $f(x)$ $\color{Red}{=}$ $A$ $+$ $\alpha(x)$

什么情况下数列或函数的极限不存在？（B001）

问题

以下哪些选项所示的情况会导致数列或者函数的【极限不存在】？（多选）

选项

[A]. 极限运算的结果是一个常数

[B]. 极限运算的结果为正无穷大或负无穷大

[C]. 函数某点处左侧的极限与右侧的极限不相等

[D]. 数列的子列极限不全部相等

答案

1. 数列的子列极限【不全部相等】；
2. 函数某点处【左侧】的极限与【右侧】的极限【不相等】；
3. 极限运算的结果为【正无穷大】或【负无穷大】.

无穷小量的运算性质（04-B001）

问题

以下关于【无穷小量的运算性质】中，正确的是哪项？

选项

[A]. 无限个无穷小量的代数和或积一定是无穷大量

[B]. 无限个无穷小量的代数和或积一定是无穷小量

[C]. 无限个无穷小量的代数和或积一定不是无穷小量

[D]. 无限个无穷小量的代数和或积不一定是无穷小量

答案

无限个无穷小量的代数和或积不一定是无穷小量

关键词：无限个、不一定

无穷小量的运算性质（03-B001）

问题

以下关于【无穷小量的运算性质】中，正确的是哪项？

选项

[A]. 无界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量

[B]. 有界函数与无穷小量的乘积不是无穷小量

[C]. 有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量

[D]. 有界函数与无穷小量的代数和仍是无穷小量

答案

有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量

关键词：有界函数、乘积、仍是

无穷小量的运算性质（02-B001）

问题

以下关于【无穷小量的运算性质】中，正确的是哪项？

选项

[A]. 有限个无穷小量的乘积不确定是不是无穷小量

[B]. 无限个无穷小量的乘积仍是无穷小量

[C]. 有限个无穷小量的乘积不是无穷小量

[D]. 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量

答案

有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量

关键词：有限个、乘积、仍是

无穷小量的运算性质（01-B001）

问题

以下关于【无穷小量的运算性质】中，正确的是哪项？

选项

[A]. 有限个无穷小量的代数和不确定是否是无穷小量

[B]. 无限个无穷小量的代数和仍是无穷小量

[C]. 有限个无穷小量的代数和不是无穷小量

[D]. 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量

答案

有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量

关键词：有限个、代数和、仍是

极限的除法运算法则（B001）

问题

已知 $\lim$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim$ $g(x)$ $=$ $B$, 则，根据极限四则运算法则中的【除法运算法则】，下列哪项是正确选项？

选项

[A]. $\lim$ $f(x)$ $\div$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $A$ $+$ $B$

[B]. $\lim$ $f(x)$ $\div$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $A$ $-$ $B$

[C]. $\lim$ $f(x)$ $\div$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\frac{B}{A}$

[D]. $\lim$ $f(x)$ $\div$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\frac{A}{B}$

答案

$\lim$ $f(x)$ $\div$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\frac{A}{B}$

极限的乘法运算法则（B001）

问题

已知 $\lim$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim$ $g(x)$ $=$ $B$, 则，根据极限四则运算法则中的【加法运算法则】，下列哪项是正确选项？

选项

[A]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $\div$ $g(x)]$ $=$ $A$ $\div$ $B$

[B]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $-$ $g(x)]$ $=$ $A$ $-$ $B$

[C]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $+$ $g(x)]$ $=$ $A$ $+$ $B$

[D]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $\times$ $g(x)]$ $=$ $A$ $\times$ $B$

答案

$\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $\times$ $g(x)]$ $=$ $A$ $\times$ $B$

极限的减法运算法则（B001）

问题

已知 $\lim$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim$ $g(x)$ $=$ $B$, 则，根据极限四则运算法则中的【减法运算法则】，下列哪项是正确选项？

选项

[A]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $\times$ $g(x)]$ $=$ $A$ $\times$ $B$

[B]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $\div$ $g(x)]$ $=$ $A$ $\div$ $B$

[C]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $-$ $g(x)]$ $=$ $A$ $-$ $B$

[D]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $+$ $g(x)]$ $=$ $A$ $+$ $B$

答案

$\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $-$ $g(x)]$ $=$ $A$ $-$ $B$

极限的加法运算法则（B001）

问题

已知 $\lim$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim$ $g(x)$ $=$ $B$, 则，根据极限四则运算法则中的【加法运算法则】，下列哪项是正确选项？

选项

答案

$\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $+$ $g(x)]$ $=$ $A$ $+$ $B$

函数极限的重要性质之极限的保号性（03-B001）

问题

若 $f(x)$ $>$ $0$, 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, 则下列哪项一定成立？

选项

[A]. $A$ $\geqslant$ $0$

[B]. $A$ $<$ $0$

[C]. $A$ $\leqslant$ $0$

[D]. $A$ $>$ $0$

答案

$A$ $\geqslant$ $0$

同理，若 $f(x)$ $<$ $0$, 则 $A$ $\leqslant$ $0$.

函数极限的重要性质之极限的保号性（02-B001）

问题

若 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ $>$ $0$, 则一定存在 $X$ $>$ $0$, 使得当 $|x|$ $>$ $X$ 时，下列哪项一定成立？

选项

[A]. $f(x)$ $<$ $0$

[B]. $f(x)$ $\geqslant$ $0$

[C]. $f(x)$ $>$ $0$

[D]. $f(x)$ $\leqslant$ $0$

答案

$f(x)$ $>$ $0$

同理，若 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ $<$ $0$, 则 $f(x)$ $<$ $0$.

函数极限的重要性质之极限的保号性（01-B001）

问题

若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $>$ $0$, 则一定存在 $\xi$ $>$ $0$, 使得当 $0$ $<$ $|x – x_{0}|$ $<$ $\xi$ 时，下列哪项一定成立？

选项

[A]. $f(x)$ $<$ $0$

[B]. $f(x)$ $\geqslant$ $0$

[C]. $f(x)$ $>$ $0$

[D]. $f(x)$ $\leqslant$ $0$

答案

$f(x)$ $>$ $0$

同理，如果 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $<$ $0$, 则 $f(x)$ $<$ $0$.

函数极限的重要性质之极限的有界性或局部有界性（02-B001）

问题

若 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ 存在，则一定存在 $X$ $>$ $0$, $M$ $>$ $0$, 使得当 $|x|$ $>$ $X$ 时，下列哪项一定成立？

选项

[A]. $f(x)$ $=$ $M$

[B]. $f(x)$ $>$ $M$

[C]. $f(x)$ $<$ $M$

[D]. $f(x)$ $<$ $0$

答案

$f(x)$ $<$ $M$

函数极限的重要性质之极限的有界性或局部有界性（01-B001）

问题

若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ 存在，则一定存在 $\xi$ $>$ $0$, $M$ $>$ $0$，使得当 $0$ $<$ $|x – x_{0}|$ $<$ $\xi$ 时，下列哪项一定成立？

选项

[A]. $|f(x)|$ $\neq$ $M$

[B]. $|f(x)|$ $=$ $M$

[C]. $|f(x)|$ $>$ $M$

[D]. $|f(x)|$ $<$ $M$

答案

$|f(x)|$ $<$ $M$