$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3} \Big)^{n} = ?
$$
其中，$a$ $>$ $0$, $b$ $>$ $0$, $c$ $>$ $0$.
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继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big($ $\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3}$ $\big)^{n}$”$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \cdot \sin \frac{1}{n} = ?
$$
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继续阅读“计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}}$ $\cdot$ $\sin \frac{1}{n}$”$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ \frac{x^{2}}{(x – a) (x + b)} \Big]^{x} = ?
$$
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继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big[$ $\frac{x^{2}}{(x – a) (x + b)}$ $\big] ^{x}$”证明下面的函数是奇函数：
$$
y = \frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1}
$$
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继续阅读“如何证明 $y$ $=$ $\frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1}$ 是奇函数？”证明下面的函数是奇函数：
$$
y = \ln ( x + \sqrt{1+x^{2}} )
$$
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继续阅读“如何证明 $y$ $=$ $\ln$ $($ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^{2}}$ $)$ 是奇函数？”证明下面的函数是奇函数：
$$
y = \ln \frac{1-x}{1+x}
$$
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继续阅读“如何证明 $y$ $=$ $\ln$ $\frac{1-x}{1+x}$ 是奇函数？”
简单地说，有理数就是可以写成两个整数比值形式的数，而无理数就是不能写成两个整数比值形式的数。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过简单的定理描述和示例，让同学们迅速理解这两个概念。
继续阅读“什么是有理数？什么是无理数？”$y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数是多少？
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继续阅读“计算函数 $y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数”$\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 整体线性表示
任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一
$\boldsymbol{\beta}$ 可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一
$\mathrm{\textcolor{red}{r}}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $\mathrm{\textcolor{red}{r}}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\textcolor{red}{\beta}}\right)$
不 能
向量 $\textcolor{orange}{\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}}$ 能 由 向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 性 表 示
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
非齐次线性方程组 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_m\end{array}\right)$ $=$ $\boldsymbol{\beta}$ 有 解
不 能
向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 能 由 向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 性 表 示
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
存 在 常数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使得 $\textcolor{cyan}{k_{1}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ $=$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 成 立
