计算函数 $y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数

一、题目

$y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数是多少？

难度评级：

二、解析

首先，我们要明白，一个函数的反函数并不是直接对原函数中的 $x$ 和 $y$ 进行互换就可以的，而是需要先将原函数 $y$ $=$ $f(x)$ 转化为等价的 $x$ $=$ $g(y)$ 的形式，之后，为了形式上符合通用的做法（用 $x$ 表示自变量，用 $y$ 表示因变量） 才将 $x$ $=$ $g(y)$ 中的 $x$ 和 $y$ 互换，写成 $y$ $=$ $g(x)$ 的形式。

因此，$y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数不是 $x$ $=$ $\frac{e^{y} – e^{-y}}{2}$.

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以下是正确的计算步骤：

$$
y = \frac{e^{x} – e^{-x}}{2} \Rightarrow
$$

$$
2 y = e^{x} – e^{-x} \Rightarrow
$$

Next

两边同乘 $e^{x}$ $\Rightarrow$

$$
2 y e^{x} = e^{2 x} – 1 \Rightarrow
$$

$$
e^{2 x} – 2 y e^{x} – 1 = 0.
$$

Next

令 $t$ $=$ $e^{x}$, 则：

$$
t^{2} – 2y t – 1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
t = \frac{2y \pm \sqrt{4y^{2} + 4}}{2} \Rightarrow
$$

$$
t = \frac{2y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2} \Rightarrow
$$

$$
t = y \pm \sqrt{y^{2} + 1} \Rightarrow
$$

$$
e^{x} = y \pm \sqrt{y^{2} + 1}.
$$

Next

又由于 $e^{x}$ $>$ $0$, 而 $y$ $-$ $\sqrt{y^{2} + 1}$ $<$ $0$, 因此：

$$
e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + 1} \Rightarrow
$$

$$
x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1}) \Rightarrow
$$

互换 $x$ 和 $y$ $\Rightarrow$

$$
y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}).
$$

综上可知，$y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数是 $y$ $=$ $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$.

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