一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3} \Big)^{n} = ?
$$
其中，$a$ $>$ $0$, $b$ $>$ $0$, $c$ $>$ $0$.
难度评级：
二、解析 
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3} \Big)^{n} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 1 + \big( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3} – 1 \big) \Big]^{n} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 1 + \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c} – 3 }{3} \Big]^{n} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 1 + \frac{(\sqrt[n]{a} – 1) + (\sqrt[n]{b} – 1) + (\sqrt[n]{c} – 1) }{3} \Big]^{n} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 1 + \frac{(a^{\frac{1}{n}} – 1) + (b^{\frac{1}{n}} – 1) + (c^{\frac{1}{n}} – 1) }{3} \Big]^{n} =
$$
Next 
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 1 + \frac{\frac{1}{n} \ln a + \frac{1}{n} \ln b + \frac{1}{n} \ln c }{3} \Big]^{n} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 1 + \frac{\ln a + \ln b + \ln c }{3 n} \Big]^{n} =
$$
Next
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 1 + \frac{\ln abc }{3 n} \Big]^{n} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 1 + \frac{\ln abc }{3 n} \Big]^{\frac{3n}{\ln abc} \cdot \frac{\ln abc}{3n} \cdot n} =
$$
$$
e^{\frac{\ln abc}{3n} \cdot n} =
$$
$$
e^{\frac{\ln abc}{3}} =
$$
$$
e^{\frac{1}{3} \ln abc} =
$$
$$
e^{\ln (abc)^{\frac{1}{3}}} =
$$
Next
$$
e^{\ln \sqrt[3]{abc}} = \sqrt[3]{abc}.
$$
注意：$e^{\frac{1}{3} \ln abc}$ $\neq$ $\sqrt{abc}$.
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