一、题目
已知 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0, \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗？可导吗？
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继续阅读“一点处导数不存在的时候也可以通过导数判断该点处的连续性”分类： 考研数学
用柯西中值定理的时候怎么在已知一个函数的情况下凑出来另一个函数？反推即可
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$.
请证明：存在 $\eta \in(1,2)$, 使 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}}$ 成立。
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继续阅读“用柯西中值定理的时候怎么在已知一个函数的情况下凑出来另一个函数？反推即可”证明中值等式成立问题的两种思路：构造函数后用零点定理或罗尔定理
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$
请证明：存在 $\xi \in(1,2)$, 使 $f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^{2}}$ 成立。
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继续阅读“证明中值等式成立问题的两种思路：构造函数后用零点定理或罗尔定理”泰勒公式总是在你没有思路的时候出手相救——可尝试泰勒公式的特征：两量相减，有 1 次幂和 2 次幂
一、题目
证明下面的不等式：
$$
\left|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}-\cos y\right| \leq \frac{1}{2}|x-y|, \quad (x \neq y)
$$
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继续阅读“泰勒公式总是在你没有思路的时候出手相救——可尝试泰勒公式的特征：两量相减，有 1 次幂和 2 次幂”最值点处导函数的性质汇总
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, $f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$, 则 $f^{\prime}(a)$ 与 $0$ 之间存在怎么样的关系？
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继续阅读“最值点处导函数的性质汇总”最值不一定产生于极值点处
一、题目
已知 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 $3$, 最小值是 $-29$, 且 $a>0$, 则 $a = ?$, $b = ?$
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继续阅读“最值不一定产生于极值点处”怎么通过伴随矩阵求解原矩阵？这个关于伴随矩阵的核心公式一定要牢记！
一、题目
已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{cccc}4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}=?$
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继续阅读“怎么通过伴随矩阵求解原矩阵？这个关于伴随矩阵的核心公式一定要牢记！”这种涉及到超大次幂的题目一定是有规律的
一、题目
已知 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B P}$, 其中 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{100}=?$
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继续阅读“这种涉及到超大次幂的题目一定是有规律的”X 轴和 Y 轴分量上的偏导数本质上就是一元函数的导数
一、题目
已知函数 $f(x, y)$ 可微，且对于任意的 $x, y$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} > 0$, $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$, 且不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)<f\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 成立，则 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间以及 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 之间必须满足什么条件？
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继续阅读“X 轴和 Y 轴分量上的偏导数本质上就是一元函数的导数”偏导数连续则可微，但可微不意味着偏导数一定连续
一、题目
函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的充要条件吗？
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继续阅读“偏导数连续则可微，但可微不意味着偏导数一定连续”X 轴和 Y 轴分量上的偏导数存在代表原函数在 X 轴和 Y 轴分量上连续
一、题目
已知 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 皆存在，则以下说法中正确的是哪个？
(A) $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续
(B) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在
(C) $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微
(D) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim \limits_{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$
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继续阅读“X 轴和 Y 轴分量上的偏导数存在代表原函数在 X 轴和 Y 轴分量上连续”对于这类不问“是什么”，而是问“不是什么”的题目要格外注意
一、题目
下面的二次型中，经正交变换后得到的标准形不是 $y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ 的是哪个？
(A) $3 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3}$
(B) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}$
(C) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}$
(D) $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}$
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继续阅读“对于这类不问“是什么”，而是问“不是什么”的题目要格外注意”通过二次型的正惯性指数确定变量的取值范围
一、题目
已知，二次型 $a x_{1}^{2}+(2 a-1) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$
的正惯性指数 $p=1$. 则 $a$ 的取值范围是多少？
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继续阅读“通过二次型的正惯性指数确定变量的取值范围”涉及斜率（一阶偏导数）和函数值大小于自变量的大小关系的问题可以尝试用画图的方式解决
一、题目
已知，可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial x}>1$, $\frac{\partial f}{\partial y}<-1$, $f(0,0)=0$, 则下列结论正确的是
(A) $f(1,-1)>2$.
(B) $f(-1,1)>-2$.
(C) $f(-1,-1)<0$.
(D) $f(1,1)>1$.
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继续阅读“涉及斜率（一阶偏导数）和函数值大小于自变量的大小关系的问题可以尝试用画图的方式解决”X 轴和 Y 轴分量上指定点的偏导数存在且在该点处连续与该点可微之间没有任何必然联系
一、题目
若函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域内有定义，则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$, $\lim \limits_{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分必要条件吗？
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继续阅读“X 轴和 Y 轴分量上指定点的偏导数存在且在该点处连续与该点可微之间没有任何必然联系”