分类： 考研数学

一、题目

已知 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，则下列命题正确的是哪个？

(A) 若极限 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

(B) 若极限 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

(C) 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在

(D) 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在

难度评级：

继续阅读“真真假假，眼花缭乱：你知道哪一个条件和二元函数可微有关系吗？”

一、题目

下面的函数的一阶导函数在点 $x = 0$ 处连续吗？

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{c} & x^{2} \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ & 0, & x=0
\end{array}\right.
$$

难度评级：

继续阅读“一点处的（偏）导数存在不能说明该（偏）导数在该点处连续：要让一点处导数存在只需要有“两个点”，但若要导数在一点处连续需要有“无数个致密的点””

一、题目

函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是下面哪一个？

(A) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$.

(B) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim \limits_{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$.

(C) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在.

(D) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$.

难度评级：

继续阅读“二元偏导数中两个变量都趋于同一个坐标点时极限仍存在才叫偏导数连续”

一、题目

已知 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，且 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$, 则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微吗？偏导数 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}$ 等于多少？

难度评级：

继续阅读“这个式子中隐藏着可微的判别公式，你能找到吗？”

一、题目

已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, f[\varphi(x)]=1-x$ 且 $\varphi(x) \geq 0$, 求 $\varphi(x)$ 并写出它的定义域。

难度评级：

继续阅读“你能找到这个复合函数的内层函数吗？”

一、题目

已知 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0.0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续吗？偏导数存在吗？可微吗？

难度评级：

继续阅读“两个不同符号的无穷小变量相减不会导致更高阶无穷小的产生”

一、题目

已知 $\textcolor{orange}{f(x+1)}$ 的定义域为 $[0, a], \ (a>0)$, 则 $\textcolor{yellow}{f(x)}$ 的定义域为（）

难度评级：

继续阅读“函数的定义域就是变量的取值范围：这里的变量指的是【单个】字母，此外，同一个函数 f 中，对等位置上的变量取值范围相等”

一、题目

已知：

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}x \cdot \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
$$

则函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数 $f^{\prime}_{x}(0,0)$ 存在吗？

难度评级：

继续阅读“二元函数偏导数不存在的一个简单的例题：通过一点处导数的公式判断一阶偏导数不存在”

一、题目

已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处偏导数存在吗？偏导数连续吗？可微吗？

难度评级：

继续阅读“二元函数偏导数的连续性可以被直接证明吗？当然可以！”

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^{2}}=?
$$

难度评级：

继续阅读“包含 e 的极限问题典型解题思路之一：通过提取公倍式构造无穷小”

一、题目

已知 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cc}x y, & x y \neq 0, \\ 1, & x y=0,\end{array}\right.$ 则下列命题中哪个或哪些是正确的：

(1) $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点两个偏导数都存在

(2) $\lim f_{x}^{\prime}(x, 0)$ $=$ $f_{x}^{\prime}(0,0)$, 且 $\lim f_{y}^{\prime}(0, y)$ $=$ $f_{y}^{\prime}(0,0)$

(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点两个偏导数都连续

(4) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微

难度评级：

继续阅读“这里有个不一般的三维分段函数”

一、题目

已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？偏导数连续吗？

难度评级：

继续阅读“可微（全微分存在）但不一定有偏导数连续”

一、前言

看完本文，你将彻底理解下面这两个图：

继续阅读“彻底搞明白一元和二元函数中可微、可（偏）导、连续与极限存在之间的关系”

一、题目

已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$. 同时，$y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$, 则曲线 $y(x)$ 的方程是多少？

难度评级：

继续阅读“这道题其实是一个条件微分方程，而且隐含着两个条件”