这种涉及到超大次幂的题目一定是有规律的

一、题目

已知 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B P}$, 其中 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{100}=?$

难度评级：

二、解析

由于：

$$
|P|=12-10=2 \neq 0 \Rightarrow \text { 可逆 } \Rightarrow
$$

因此：

$$
P A=B P \Rightarrow A=P^{-1} B P
$$

由于：

$$
A^{3}=P^{-1} B\left(P \cdot P^{-1}\right) B\left(P \cdot P^{-1}\right) B P=P^{-1} B^{3} P \Rightarrow
$$

因此：

$$
A^{100}=P^{-1} B^{100} P
$$

又由于：

$$
B^{2}=
$$

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=E
$$

因此：

$$
B^{100}=E \Rightarrow
$$

$$
A^{100}=P^{-1} E P=P^{-1} P=E
$$

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