证明中值等式成立问题的两种思路：构造函数后用零点定理或罗尔定理

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$

请证明：存在 $\xi \in(1,2)$, 使 $f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^{2}}$ 成立。

难度评级：

二、解析

方法一：构造函数之后用零点定理

构造函数：

$$
f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f(\xi)-(2-\xi) e^{\xi^{2}}=0 \Rightarrow
$$

$$
F(x)=f(x)+(x-2) e^{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
F(x)=\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t +(x-2) e^{x^{2}}
$$

于是，当 $x=1$ 时：

$$
F(1)=0-e<0
$$

当 $x=2$ 时：

$$
F(2)=\int_{1}^{2} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t >0 \Rightarrow
$$

因此：

$$
\exists \ \xi \in(1,2) \Rightarrow F(\xi)=0 \Rightarrow
$$

$$
f(\xi)-(2-\xi) e^{\xi^{2}}=0 \Rightarrow
$$

$$
f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^{2}}
$$

方法二：构造函数之后用罗尔定理

Tips:

罗尔中值定理：当 $f(a) = f(b)$ 时，一定存在 $\xi \in (a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi) = 0$ 存在。

因为：

$$
f(x)=\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=e^{x^{2}}
$$

且：

$$
f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^{2}}
$$

于是，可以构造函数：

$$
F(x)=(2-x) f(x)
$$

右：

$$
F(1)=F(2)=0
$$

于是：

$$
\exists \ \xi \in(1,2) \Rightarrow F^{\prime}(\xi)=0
$$

又：

$$
F^{\prime}(x)=-f(x)+(2-x) f^{\prime}(x)
$$

所以：

$$
-f(\xi)+(2-\xi) \cdot e^{\xi^{2}}=0 \Rightarrow
$$

$$
(2-\xi) \cdot e^{\xi^{2}}=f(\xi)
$$

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