考研数学 – 第 94 页

一、题目

方程 $x^{2}-x \sin x-\cos x=0$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 内有没有根？如果有根的话，有几个根？

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再复杂的零点个数问题也有简单的思路：利用一阶导函数和关键点的函数值确定函数图像的大致走向并判断函数与 X 轴的交点个数

一、题目

已知常数 $0<b<\frac{1}{\mathrm{e}}$, $f(x)=\ln x-x^{b}$, 则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 区间内的零点个数是多少？

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对复合函数做偏导运算的时候一定要在最终结果中替换掉所有中间函数的符号

一、题目

已知 $z=u^{2} \cos v$, $u=x y$, $v=2 x+y$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=?$, $\frac{\partial z}{\partial y}=?$

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一、题目

已知 $f(x+y, x y)$ $=$ $x^{2}+y^{2}$, 则 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=?$

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一、题目

$$
I=\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{~ d} x=?
$$

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一、题目

$$
I = \int_{1}^{5} e^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~ d} x = ?
$$

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这个行列式没有什么计算规律：对于四阶的行列式计算，直接尝试降阶即可

一、题目

行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 1 & 0 & 0 \\ b & a & 1 & 0 \\ 0 & b & a & 1 \\ 0 & 0 & b & a\end{array}\right|=?$

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一、题目

已知，有四阶行列式 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 2\end{array}\right|$, 则其第四行各元素代数余子式之和，即 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=?$

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一、题目

已知，二阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量为 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|<0$, 则 $k\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$、$\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$、$k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$ $(k_{1} \neq 0$ 且 $k_{2} \neq 0)$ 和 $k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$（$k_{1}$ 和 $k_{2}$ 不同时为零）中，一定是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量的是哪个或哪些？

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当系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知数的个数时：对应的非齐次线性方程组有唯一解

一、题目

已知，线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}-\lambda x_{2}-2 x_{3}=-1 \\ x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=2 \\ 5 x_{1}-5 x_{2}-4 x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 有唯一解，则 $\lambda$ 满足什么条件？

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正定二次型是对应的二次型矩阵的各阶顺序主子式都大于零而不是不等于零

一、题目

当 $t$ 满足什么条件时，可以保证二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 是正定的？

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一个向量组可由另一个向量组线性表示的充分必要条件是什么？（C019）

问题

一个向量组 $A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s})$ 可由另一个向量组 $B = (\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t})$ 线性表示（线性表出）的【充分必要条件】是什么？

选项

[A]. $r(A) \neq r(A,B)$

[B]. $r(A) > r(A,B)$

[C]. r(A) < r(A,B)

[D]. $r(A) = r(A,B)$

答案

$r(A) = r(A,B)$

副对角线上有分块矩阵的行列式的计算公式怎么记？将一个“块”看做一个数字就可以啦

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵, $\boldsymbol{B}$ 为三阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=2$, 则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{*} \\ -2 \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=?$

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什么是“前充分后必要”？什么是“小充分大必要”？这道题体现得淋漓尽致

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,4,7,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,6, a, 6)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,1,3, a)^{\mathrm{\top}}$, 那么 $a=8$ 是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关的充要条件吗？

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