当系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知数的个数时：对应的非齐次线性方程组有唯一解

一、题目

已知，线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}-\lambda x_{2}-2 x_{3}=-1 \\ x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=2 \\ 5 x_{1}-5 x_{2}-4 x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 有唯一解，则 $\lambda$ 满足什么条件？

难度评级：

二、解析

Tips:

当系数矩阵 $A$ 和其增广矩阵 $(A, b)$ 满足 $r(A) = r(A, b) = \textcolor{yellow}{n}$ 的时候对应的非齐次线性方程组有且只有一个解（其中，”$\textcolor{yellow}{n}$” 是该方程组中未知数的个数，也就是 $A$ 中列的个数）。

已知：

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -\lambda & -2 \\ 1 & -1 & \lambda \\ 5 & -5 & \lambda\end{array}\right]
$$

且：

$$
(A, b) = \left[\begin{array}{cccc}1 & -\lambda & -2 & -1 \\ 1 & -1 & \lambda & 2 \\ 5 & -5 & -4 & \lambda\end{array}\right]
$$

又：

$$
(A, b) = \left[\begin{array}{cccc}1 & -\lambda & -2 & -1 \\ 1 & -1 & \lambda & 2 \\ 5 & -5 & -4 & \lambda\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
(A, b) = \left[\begin{array}{cccc}1 & -\lambda & -2 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & \lambda+2 & 3 \\ 0 & 5 \lambda-5 & 6 & \lambda+5\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
(A, b) = \left[\begin{array}{cccc}1 & -\lambda & -2 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & \lambda+2 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \lambda-4 & \lambda-10\end{array}\right]
$$

为了使 $r(A) = 3$, 必须有：

$$
-5 \lambda – 4 \neq 0 \Rightarrow \lambda \neq \frac{-4}{5}
$$

为了使 $r(A, b) = 3$, 必须有：

$$
\begin{cases}
& \lambda – 1 \neq \textcolor{orange}{k} \cdot 0 \\
& \lambda + 2 \neq \textcolor{orange}{k} \cdot (-5 \lambda-4) \\
& 3 \neq \textcolor{orange}{k} \cdot (\lambda – 10)
\end{cases}
\Rightarrow \lambda \neq 1
$$

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