已知 $u_{n}$ $=$ $\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$, 则下列命题正确的是哪个？
(A) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在, 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$.
(B) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$.
(C) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$.
(D) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$.
难度评级：
继续阅读“每次都乘以一个稍微大于 1 的数一定会得到无穷大吗？”下列命题中正确的是哪个？
(A) 若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时, $f(x) \geqslant g(x)$
(B) 若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$, $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在, 则 $A_{0}>B_{0}$
(C) 若存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)$
(D) 若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$
难度评级：
继续阅读“辨析由极限的不等式所能推出的结论”设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续, 且 $f(0)=0$, 证明: $\left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M a^{2}}{2}$, 其中 $M=\max _{0 \leqslant x \leqslant a}\left|f^{\prime}(x)\right|$.
方法一：拉格朗日
$$
x \in(0, a] \Rightarrow
$$
$$
f(x)=f(x)-f(0)=f^{\prime}(\xi) x, \quad \xi \in(0, x) .
$$
$$
\left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x\right|=\left|\int_{0}^{a} f^{\prime}(\xi) x \mathrm{~ d} x\right| \leqslant \int_{0}^{a}\left|f^{\prime}(\xi)\right| x \mathrm{~ d} x
$$
$$
\leqslant M \int_{0}^{a} x \mathrm{~ d} x=\frac{M}{2} a^{2}
$$
方法二：
$$
x \in[0, a], f(0)=0 \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{~ d} t=f(x)-f(0)=f(x)
$$
$$
|f(x)|=\left|\int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{~ d} t\right| \leqslant \int_{0}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{~ d} t \leqslant
$$
$$
\int_{0}^{x} M \mathrm{~ d} t=M x
$$
于是：
$$
\left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x\right| \leqslant \int_{0}^{a}|f(x)| \mathrm{~ d} x \leqslant
\int_{0}^{a} M x \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2} M a^{2}
$$
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
已知抛物叶形线的一部分公式为：
$$
y^{2}=\frac{x}{9}(3-x)^{2}(0 \leqslant x \leqslant 3)
$$
如图 01 所示，它围成的图形为 $M$, 则 $M$ 的面积 $A=?$, $M$ 的质心 (形心) $(\bar{x}, \bar{y})=?$
难度评级：
继续阅读“曲线与平面的质心和形心计算公式你会用吗？”由相交于三点 $\left(x_{1}, y_{1}\right)\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{3}, y_{3}\right)$ (其中 $\left.x_{1} < x_{2} < x_{3}\right)$ 的两曲线 $y=f(x) > $ $0, y=g(x) > 0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为：
(A) $\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi[f(x)-g(x)]^{2} \mathrm{~d} x$
(B) $\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi\left[f^{2}(x)-g^{2}(x)\right] \mathrm{d} x$
(C) $\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| \mathrm{d} x$
(D) $\left|\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi\left[f^{2}(x)-g^{2}(x)\right] \mathrm{d} x\right|$
难度评级：
继续阅读“两条不同的曲线旋转形成的共有旋转体的体积怎么表示？”已知，无穷长直线 $L$ 的线密度为 $1$, 引力常数为 $k$, 则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力是多少？
难度评级：
继续阅读“如果物理应用题没有配图，一定要注意判断自己画的图是否符合题意”已知，有曲线 $y=\sqrt{x-1}$, 过原点作其切线, 则以曲线、切线及 $x$ 轴所围成平面图形绕 $x$轴旋转一圈所得到的表面积是多少？
难度评级：
继续阅读“绘制完成的示意图一定要用阴影线重点标注出来”已知，星形线方程为：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos ^{3} t \\
y=a \sin ^{3} t
\end{array}\right.
$$
则它所围成的面积 $A=?$, 它的弧长 $L=?$, 它绕 $X$ 轴旋转而生成的旋转体体积 $V=?$, 该旋转体的侧面积 $S=?$
难度评级：
继续阅读“旋转体知识点综合题：弧长、体积、侧面积”摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $y=2 a$ 旋转一周而得旋转体的体积 $V=?$
难度评级：
继续阅读“旋转体的转轴不是 X 轴或者 Y 轴怎么办？先取反再平移”设 $f^{\prime \prime}(x)<0, f(0)=0$, 证明对任何 $x_{1}>0, x_{2}>0$, 有 $f\left(x_{1}+x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)$.
方法一（构造函数）：
本题其实就是要证明，当 $x>0$ 时，下式的成立性：
$$
f\left(x_{1}+x\right)<f\left(x_{1}\right)+f(x)
$$
因此，构造函数：
$$
\varphi(x)=f(x)+f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{1}+x\right)
$$
于是就是要证明 $\varphi(x)>0$
又：
$$
\varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-f^{\prime}\left(x_{1}+x\right)
$$
又：
$$
f^{\prime \prime}(x)<0
$$
因此，当 $x>0$ 时：
$$
f^{\prime}\left(x_{1}+x\right)0
$$
又：
$$
\varphi(0)=f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{1}\right)=0, \ f(0)=0
$$
因此：
$$
\varphi(x)>0
$$
方法二（拉格朗日）：
$$
\xi_{1} \in\left(0, x_{1}\right) \Rightarrow \frac{f\left(x_{1}\right)-f(0)}{x_{1}-0}=f^{\prime}\left(\xi_{1}\right) \Rightarrow
$$
$$
f(0)=0 \Rightarrow f\left(x_{1}\right)=x_{1} f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)
$$
又：
$$
\xi_{2} \in\left(x_{1}, x_{2}\right) \Rightarrow \frac{f\left(x_{1}+x_{2}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}}=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right) \Rightarrow
$$
$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)-f\left(x_{2}\right)=x_{1} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)
$$
又：
$$
f^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)<0 \Rightarrow f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)<f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)
$$
因此：
$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)-f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right) \Rightarrow
$$
$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)
$$
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设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足 $f(x)=f(x-\pi)+$ $\sin x$, 且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$, 计算 $\int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x$.
$$
\int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{2 \pi} f(x-\pi) \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{2 \pi}[f(x)-\sin x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{2 \pi}[f(x)-\sin x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{\pi}^{2 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{\pi} f(x-\pi) \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{\pi}[f(x)-\sin x] \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$
$$
2 \int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x+\int_{\pi}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\left.x^{2}\right|_{0} ^{\pi}-\left.\cos x\right|_{\pi} ^{2 \pi}=\pi^{2}-2
$$
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