三、解答题 (本题满分 25 分, 每小题 5 分)
(1) 求 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{r-1}{2}}$
$$
\frac{3+x}{6+x}=1+\frac{3+x}{6+x}-1=1+\frac{-3}{6+x} \Rightarrow
$$
$$
\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}=\left(1+\frac{-3}{6+x}\right)^{\frac{6+x}{-3} \cdot \frac{x-1}{2} \cdot \frac{-3}{6+x}}=
$$
$$
e^{\frac{3(1-x)}{2(6+x)}}=e^{\frac{-3 x}{2 x}}=e^{\frac{-3}{2}}
$$
(2) 设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x \mathrm{e}^{y}=1$ 所确定, 求 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}$ 的值.
$$
y-x e^{y}=1 \Rightarrow \tag{1}
$$
$$
y^{\prime}-e^{y}-x y^{\prime} e^{y}=0 \Rightarrow \tag{2}
$$
$$
y^{\prime \prime}-y^{\prime} e^{y}-y^{\prime} e^{y}-x y^{\prime} \cdot y^{\prime} \cdot e^{y}=0 \tag{3}
$$
所以：
$$
x=0 \Rightarrow(1) \Rightarrow y=1
$$
$$
x=0, y=1 \Rightarrow(2)=y^{\prime}=e \Rightarrow
$$
$$
x=0, y=1, y^{\prime}=e \Rightarrow(3) \Rightarrow y^{\prime \prime}=2 e^{2} .
$$
(3) 求 $\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$.
处理带有根号的被积函数时，可以不对根号做整体代换——例如，可以像下面的解析一样，只对根号中的内容做代换。此外，由于三角代换可能会在反代回来的时候产生复杂的运算，因此，除非很明显可以使用三角代换，否则一般不要优先尝试使用三角代换。
$$
1+x^{2}=t \Rightarrow
$$
两边同时求导：
$$
2 x \mathrm{~ d} x=\mathrm{~ d} t
$$
于是：
$$
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~ d} x=\int \frac{x(t-1)}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2 x} \mathrm{~ d} t =
$$
$$
\frac{1}{2} \int \frac{t-1}{\sqrt{t}} \mathrm{~ d} t=\frac{1}{2}\left[\int \frac{t}{\sqrt{t}} \mathrm{~ d} t-\int \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~ d} t\right]=
$$
$$
\frac{1}{2}\left[\int t^{\frac{1}{2}} \mathrm{~ d} t-\int t^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~ d} t\right]=
$$
$$
\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}-2 t^{\frac{1}{2}}\right] \Rightarrow
$$
$$
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-2\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right]=
$$
$$
\frac{1}{3}\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-\sqrt{1+x^{2}}+C .
$$
或者使用下面的计算方法：
$$
\left(1+x^{2}\right)^{\prime}=2 x \Rightarrow
$$
$$
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int \frac{x\left(x^{2}+1-1\right)}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2} \int \frac{\left(x^{2}+1\right)-1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~ d} \left(x^{2}+1\right) \Rightarrow
$$
$$
t=x^{2}+1 \Rightarrow \frac{1}{2} \int \frac{t-1}{\sqrt{t}} \mathrm{~ d} t
$$
之后的计算过程就和前面一样了。
(4) 求 $\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~d} x$.
方法一：反向三角代换
$$
t=\sin x \Rightarrow x \in(0, \pi), t \in(0,1)
$$
$$
x=\arcsin t \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~ d} x= \textcolor{orangered}{ 2 } \int_{0}^{1} \sqrt{1-t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~ d} t =
$$
$$
\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~ d} x= \textcolor{orangered}{ 2 } \int_{0}^{1} \sqrt{1-t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~ d} t
$$
这里需要注意的是，上面的式子都乘以了 “$\textcolor{orangered}{ 2 }$” 是因为当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，和当 $t \in(0, \pi)$ 一样，都对应着 $t \in (0, 1)$.
因此 $\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~ d} x$ $\neq$ $\int_{0}^{1} \sqrt{1-t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~ d} t$, 只有 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~ d} x$ $=$ $\int_{0}^{1} \sqrt{1-t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~ d} t$.
进而：
$$
2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t} \cdot \sqrt{1+t}} \mathrm{~ d} t=
$$
$$
2 \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+t}} \mathrm{~ d} t=
$$
$$
\left.2 \cdot 2 \cdot \sqrt{1+t}\right|_{0} ^{1}=4(\sqrt{2}-1) .
$$
方法二：倍角公式
由于：
$$
\sin x=2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \Rightarrow
$$
$$
1-\sin x=1-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}=
$$
$$
\sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}=
$$
$$
\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)^{2}
$$
因此：
$$
\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{\pi} \sqrt{\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$
去根号要注意看是否需要加绝对值：
$$
\int_{0}^{\pi}\left|\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right| \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow \cos x>\sin x \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{\pi}\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right) \mathrm{~ d} x=
$$
$$
2 \int_{0}^{\pi} \cos \frac{x}{2} \mathrm{~ d} \left(\frac{x}{2}\right)-2 \int_{0}^{\pi} \sin \frac{x}{2} \mathrm{~ d} \left(\frac{x}{2}\right)=
$$
$$
\left.2 \sin \frac{x}{2}\right|_{0} ^{\pi}+\left.2 \cos \frac{x}{2}\right|_{0} ^{\pi}=
$$
$$
2(\sqrt{2}-0)+2(\sqrt{2}-1)=4 \sqrt{2}-2
$$
(5) 求微分方程 $\left(y-x^{3}\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0$ 的通解.
先变形：
$$
\left(y-x^{3}\right) \mathrm{~ d} x-2 x \mathrm{~ d} y=0 \Rightarrow
$$
$$
y \mathrm{~ d} x-x^{3} \mathrm{~ d} x-2 x \mathrm{~ d} y=0 \Rightarrow
$$
$$
y-x^{3}-2 x \frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{x^{3}}{2 x}-\frac{1}{2 x} x^{2}+\frac{1}{2 x} y=0 \Rightarrow
$$
$$
-y^{\prime} – \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2x} y = 0 \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime}-\frac{1}{2 x} y^{\frac{1}{2}}=\frac{-1}{2} x^{2} \Rightarrow
$$
套公式：
$$
y^{\prime}=\left[\int \frac{-1}{2} x^{2} e^{\int \frac{-1}{2 x} \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x+c\right] e^{\int \frac{1}{2 x} \mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$
$$
e^{\int \frac{-1}{2 x} \mathrm{~ d} x}=e^{\frac{-1}{2} \ln x}=x^{\frac{-1}{2}}
$$
$$
e^{\int \frac{1}{2 x} \mathrm{~ d} x}=e^{\frac{1}{2} \ln x}=x^{\frac{1}{2}}
$$
$$
y=\frac{-1}{5} x^{3} + C \sqrt{x}
$$