1993 年考研数二真题解析：一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式

八、证明题 (本题满分 9 分)

设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续, 且 $f(0)=0$, 证明: $\left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M a^{2}}{2}$, 其中 $M=\max _{0 \leqslant x \leqslant a}\left|f^{\prime}(x)\right|$.

方法一：拉格朗日

$$
x \in(0, a] \Rightarrow
$$

$$
f(x)=f(x)-f(0)=f^{\prime}(\xi) x, \quad \xi \in(0, x) .
$$

$$
\left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x\right|=\left|\int_{0}^{a} f^{\prime}(\xi) x \mathrm{~ d} x\right| \leqslant \int_{0}^{a}\left|f^{\prime}(\xi)\right| x \mathrm{~ d} x
$$

$$
\leqslant M \int_{0}^{a} x \mathrm{~ d} x=\frac{M}{2} a^{2}
$$

方法二：

$$
x \in[0, a], f(0)=0 \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{~ d} t=f(x)-f(0)=f(x)
$$

$$
|f(x)|=\left|\int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{~ d} t\right| \leqslant \int_{0}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{~ d} t \leqslant
$$

$$
\int_{0}^{x} M \mathrm{~ d} t=M x
$$

于是：

$$
\left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x\right| \leqslant \int_{0}^{a}|f(x)| \mathrm{~ d} x \leqslant
\int_{0}^{a} M x \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2} M a^{2}
$$

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