曲线与平面的质心和形心计算公式你会用吗？

一、题目

已知抛物叶形线的一部分公式为：

$$
y^{2}=\frac{x}{9}(3-x)^{2}(0 \leqslant x \leqslant 3)
$$

如图 01 所示，它围成的图形为 $M$, 则 $M$ 的面积 $A=?$, $M$ 的质心 (形心) $(\bar{x}, \bar{y})=?$

难度评级：

二、解析

变形：

$$
y^{2}=\frac{x}{9}(3-x)^{2} \Rightarrow y>0 \Rightarrow y=\frac{1}{3} \sqrt{x}(3-x)
$$

计算面积：

$$
A=2 \int_{0}^{3} \frac{1}{3} \sqrt{x}(3-x) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\left.2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{3}-\left.\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}\right|_{0} ^{3}=\frac{8 \sqrt{3}}{5}
$$

接着计算形心：

由对称性知：

$$
\bar{y}=0
$$

又由质心和形心的计算公式可知：

$$
\bar{x}=\frac{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y} \Rightarrow
$$

面密度为 $1$:

$$
\rho(x, y)=1 \Rightarrow
$$

$$
\bar{x}=\frac{2 \iint_{D} x \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y}{\iint_{D} \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y} \Rightarrow
$$

$$
\bar{x}=\frac{2 \int_{0}^{3} x \mathrm{~ d} x \int_{0}^{y} \mathrm{~ d} y}{2 \int_{D}^{3} \mathrm{~ d} x \int_{0}^{y} \mathrm{~ d} y}=\frac{2 \int_{0}^{3} x y \mathrm{~ d} x}{2 \int_{0}^{3} y \mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$

$$
\bar{x}=\frac{2 \int_{0}^{3} x y(x) \mathrm{~ d} x}{A}=\frac{2 \int_{0}^{3} x \cdot \frac{1}{3} \sqrt{x}(3-x) \mathrm{~ d} x}{A} \Rightarrow
$$

其中：

$$
\frac{2}{3} \int_{0}^{3} x \sqrt{x}(3-x) \mathrm{~ d} x
$$

$$
\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \int_{0}^{3} x^{\frac{3}{2}} \mathrm{~ d} x-\frac{2}{3} \int_{0}^{3} x^{\frac{5}{2}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\left.2 \cdot \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}}\right|_{0} ^{3}-\left.\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}\right|_{0} ^{3}=\frac{8 \times 9 \times \sqrt{3}}{35}
$$

于是：

$$
\bar{x}=\frac{8 \times 9 \times \sqrt{3}}{35} \cdot \frac{5}{8 \sqrt{3}}=\frac{9}{7} \Rightarrow
$$

$$
(\bar{x}, \bar{y})=\left(\frac{9}{7}, 0\right)
$$

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