分类： 线性代数

一、题目

已知 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，若 $|A|$ $=$ $1$, 请证明当 $n$ 为奇数时，有 $| \boldsymbol { E } – \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$.

难度评级：

一、前言

行列式 $|A – B|$ 与行列式 $|B – A|$ 之间有什么关系？在本文中，荒原之梦考研数学网就将大家想清楚这个问题。

一、题目

已知 $a _{ i }$ $\neq$ $0$ ($i$ $=$ $1$, $2$, $3$, $4$), 则：

$$
|V| =
\begin{vmatrix}
& a_{1}^{3} & a_{1}^{2}b_{1} & a_{1}b_{1}^{2} & b_{1}^{3} & \\ \\
& a_{2}^{3} & a_{2}^{2}b_{2} & a_{2}b_{2}^{2} & b_{2}^{3} & \\ \\
& a_{3}^{3} & a_{3}^{2}b_{3} & a_{3}b_{3}^{2} & b_{3}^{3} & \\ \\
& a_{4}^{3} & a_{4}^{2}b_{4} & a_{4}b_{4}^{2} & b_{4}^{3} &
\end{vmatrix} ⁢= ?
$$

难度评级：

一、题目

若行列式 $\begin{vmatrix}
x-5 & -6 & 3 \\
1 & x & -1 \\
-1 & -2 & x-1
\end{vmatrix}$ $=$ $0$, 那么，$x$ $=$ $?$

难度评级：

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网（zhaokaifeng.com）将考研数学中常用的矩阵都做了一个汇总，方便同学们对不同矩阵的性质做对比，从而更深刻的理解这些矩阵之间的区别、联系与性质。

一、题目

已知 $\alpha$ $=$ $[ 1 , 3 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, $\beta$ $=$ $[ 1 , – 1 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, 且矩阵 $A$ 与 $\alpha \beta ^ { \mathrm { \top } }$ 相似，那么 $( 2 A + E ) ^ { * }$ 的特征值是多少？

难度评级：

一、题目

已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 和 $\boldsymbol { C }$ 满足关系式 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$, 其中 $\boldsymbol { E }$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则以下结论正确的是哪个？

难度评级：

一、题目

已知 $\boldsymbol { A }$ 和 $\boldsymbol { B }$ 都是 $n \times n$ 矩阵，则必有：

(A) $| \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } |$ $=$ $| \boldsymbol { A } |$ $+$ $| \boldsymbol { B } |$

(B) $| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } |$ $=$ $| \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } |$

(C) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { B } \boldsymbol { A }$

(D) $( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 }$ $=$ $\boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 }$

难度评级：

二、解析

$\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 均为 $n$ 阶方阵，于是：

$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } | \cdot | \boldsymbol { B } |} = \textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { B } | \cdot | \boldsymbol { A } |}
$$

$$
| \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } | = \textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { B } | \cdot | \boldsymbol { A } |} = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } | \cdot | \boldsymbol { B } |}
$$

即：

$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = | \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } |
$$

因此可知，矩阵对应的行列式满足交换律，B 选 项 正 确 。

且根据前面的分析可知，矩阵本身不满足交换律，C 选 项 不 正 确 。

对于 A 选项，我们可以设：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol { A } & = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol { B } & = \begin{bmatrix}
– 1 & – 2 \\ – 3 & – 4
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

于是有：

$$
| \boldsymbol { A } | = | \boldsymbol { B } | = – 2
$$

但是：

$$
| \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } | = 0 \neq -4
$$

所以 A 选 项 不 正 确。

同时，由于 $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $- 2$ $\neq$ $0$, 所以矩阵 $\boldsymbol { A }$ 和矩阵 $\boldsymbol { B }$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{ A }^{-1}$ 和 $\boldsymbol{ B }^{-1}$ 均存在。

但是，由于 $\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B }$ $=$ $0$, 因此，矩阵 $\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B }$ 的逆矩阵 $(\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B })^{-1}$ 不存在，即 D 选 项 不 正 确 。

综上可知，本 题 应 选 B

考研数学思维导图

让考场上没有难做的数学题！

一、题目

记行列式 $\left| \begin{array} { c c c c } x – 2 & x – 1 & x – 2 & x – 3 \\ 2 x – 2 & 2 x – 1 & 2 x – 2 & 2 x – 3 \\ 3 x – 3 & 3 x – 2 & 4 x – 5 & 3 x – 5 \\ 4 x & 4 x – 3 & 5 x – 7 & 4 x – 3 \end{array} \right|$ 为 $f ( x )$, 则方程 $f ( x )$ $=$ $0$ 的实根的个数是多少？

难度评级：

一、题目

$$
\left| \begin{array} { c c c c c } a _{ 1 } & 0 & 0 & b _{ 1 } \\ 0 & a _{ 2 } & b _{ 2 } & 0 \\ 0 & b _{ 3 } & a _{ 3 } & 0 \\ b _{ 4 } & 0 & 0 & a _{ 4 } \end{array} \right| = ?
$$

(A) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $-$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$

(B) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $+$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$

(C) $\left( a _{ 2 } a _{ 3 } – b _{ 2 } b _{ 3 } \right)$ $\left( a _{ 1 } a _{ 4 } – b _{ 1 } b _{ 4 } \right)$

(D) $\left( a _{ 1 } a _{ 2 } – b _{ 1 } b _{ 2 } \right)$ $\left( a _{ 3 } a _{ 4 } – b _{ 3 } b _{ 4 } \right)$

难度评级：

一、前言

通过本文中，我们将解决下面的问题：

1. 什么样的矩阵可以做加减运算？
2. 实际矩阵的加减运算怎么做？
3. 抽象矩阵的加减运算有哪些定理？

一、题目

已知 $\boldsymbol { A }$ 是 $3$ 阶实对称矩阵， $\boldsymbol { \alpha }$ $=$ $( – 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$ 满足 $( \boldsymbol { A } – 2 \boldsymbol { E } ) \boldsymbol { \alpha }$ $=$ $0$, 且 $r ( \boldsymbol { A } )$ $=$ $1$, 则方程组 $\boldsymbol {A} x$ $=$ $0$ 的基础解系为：

A. $( 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , – 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} }$

B. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

C. $( 1 , 1 , – 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

D. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

graph TD
    A[原式] --> |变形| B[特征值] --> |公式| C[特征向量];
    D[秩为 1] --> E[只有一个非零特征值] --> F[0 为二重特征值] --> |实对称矩阵| G[特征值对应的特征向量正交];
    C --> G;
    G --> H[求解特征值] --> |变形| I[验证选项]