分类： 线性代数

一、题目

已知，$A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，请证明其伴随矩阵 $A^{\ast }$ 也是正定矩阵。

难度评级：

继续阅读“正定矩阵的伴随矩阵一定是正定矩阵吗？”

一、前言

假如 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $m$ 阶矩阵 $B$ 均为正定矩阵，则其衍生矩阵会有那些结论呢？

继续阅读“关于正定矩阵及其衍生矩阵的两条重要结论”

一、题目

下列矩阵中为正定矩阵的是哪一个？

难度评级：

继续阅读“不对称的矩阵不是正定矩阵，主对角线上有负数或者零元素的矩阵也不是正定矩阵”

一、题目

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^3+2A^2=O$, 请判断矩阵 $A+E$ 的可逆性。

难度评级：

继续阅读“判断抽象矩阵的可逆性：矩阵越乘零越多”

一、题目

曲线 $y=\ln x$ 上点的曲率具有性质：

(A) 最大值为 $\frac{2}{9}\sqrt{3}$

(B) 最小值为 $\frac{1}{8}$

(C) 最大值为 $\frac{1}{9}\sqrt{3}$

(D) 无最大值

难度评级：

继续阅读“带着根号求导找极值很复杂，可以先平方去根号后再求导”

一、题目

下列选线那个中，矩阵 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 相似的是哪个？

(A) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}2& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{lll}2& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

(B) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 3& -1\\ 0& -1& 5\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right]$

(C) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}2& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{lll}2& 3& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

(D) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}2& & \\ & 2& \\ & & -3\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 3& \\ & & -2\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“不具有什么关系的两个矩阵一定不是相似矩阵？”

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 2& a\\ 2& 7& a& 3\\ 0& a& 5& -5\end{array}\right]$, 若 $r(\mathit{A})=2$, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“无论方阵还是非方阵：秩为 2 就说明所有三阶子式的值全为零”

一、题目

已知：

$$\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$

$$\mathit{B}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{31}+a_{11}& a_{32}+a_{12}& a_{33}+a_{13}\end{array}\right]$$

$${\mathit{P}}_1=\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$${\mathit{P}}_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$$

则必有：

(A) $A{\mathit{P}}_1{\mathit{P}}_2=\mathit{B}$

(B) $\mathit{A}{\mathit{P}}_2{\mathit{P}}_1=\mathit{B}$

(C) ${\mathit{P}}_1{\mathit{P}}_2\mathit{A}=\mathit{B}$

(D) ${\mathit{P}}_2{\mathit{P}}_1\mathit{A}=\mathit{B}$

难度评级：

继续阅读“单位矩阵对矩阵的影响：左行右列，先近后远”

一、题目

(A) ${\left({\mathit{A}}^{\ast }\right)}^{-1}=\frac{1}{|\mathit{A}|}\mathit{A}$

(B) $\left|{\mathit{A}}^{\ast }\right|=|\mathit{A}{|}^{n-1}$

(C) ${\left({\mathit{A}}^{\ast }\right)}^{\ast }=|\mathit{A}{|}^{n-2}\mathit{A}$

(D) $(k\mathit{A}{)}^{\ast }=k{\mathit{A}}^{\ast }$

难度评级：

继续阅读“伴随矩阵的运算性质你掌握了吗？”

一、题目

已知 $\mathit{A},\mathit{B}$ 均 $n$ 阶可逆矩阵, 正确的公式为：

(A) $(3\mathit{A}\mathit{B}{)}^{\mathrm{\top }}=\frac{1}{3}{\mathit{B}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}$

(B) $(5\mathit{A}\mathit{B}{)}^{-1}=5{\mathit{B}}^{-1}{\mathit{A}}^{-1}$

(C) $(\mathit{A}+\mathit{B}{)}^{-1}={\mathit{A}}^{-1}+{\mathit{B}}^{-1}$

(D) $(3\mathit{A}+5\mathit{B}{)}^{\mathrm{\top }}=3{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}+5{\mathit{B}}^{\mathrm{\top }}$

难度评级：

继续阅读“在矩阵转置和求逆运算中，系数应该遵循什么运算规则？”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵,下列命题中正确的是哪个？

(A) $\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{O}\iff \mathit{A}=\mathit{O}$ 或 $\mathit{B}=\mathit{O}$

(B) $\mathit{A}\mathit{B}\ne \mathit{O}\iff \mathit{A}\ne \mathit{O}$ 且 $\mathit{B}\ne \mathit{O}$

(C) $\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{O}\Rightarrow |\mathit{A}|=0$ 或 $|\mathit{B}|=0$

(D) $\mathit{A}\mathit{B}\ne \mathit{O}\Rightarrow |\mathit{A}|\ne 0$ 且 $|\mathit{B}|\ne 0$

难度评级：

继续阅读“注意命题推导的箭头“指向””