线性代数归档 - 第38页共41页

题目

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $2 (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3})^{2} +$ $(b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + b_{3} x_{3})^{2}$ ,

记 $α = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]$ , $β = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}]$ ,

$(Ⅰ)$ 证明：二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 α α^{⊤} + β β^{⊤}$

$(Ⅱ)$ 若 $α$ , $β$ 正交且均为单位向量，证明： $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ .

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题目

设 $A = [\begin{matrix} 1 & a \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ , $B = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & b \end{matrix}]$ ,

当 $a$ , $b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $A C - C A = B$ , 并求所有矩阵 $C$ .

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2012年考研数二第23题解析：二次型基础、二次型化为标准型、秩

题目

已知：

$A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & a \\ 0 & a & - 1 \end{matrix}],$

二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = X^{⊤} (A^{⊤} A) X$ 的秩为 $2$ .

$(Ⅰ)$ 求实数 $a$ 的值；

$(Ⅱ)$ 求正交变换 $x = Q y$ , 将 $f$ 化为标准形。

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2012年考研数二第22题解析：行列式的按行（列）展开定理、非齐次线性方程组求解

题目

设：

$A = [\begin{matrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1 \end{matrix}],$

$β = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] .$

$(Ⅰ)$ 计算行列式 $| A |$ .

$(Ⅱ)$ 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $A X = β$ 有无穷多解，并求其通解。

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2011年考研数二第23题解析：实对称矩阵、特征值和特征向量、向量正交运算

题目

设 $A$ 为三阶实对称矩阵， $A$ 的秩为 $2$ , 且：

$A [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}] .$

$(Ⅰ)$ 求 $A$ 的所有特征值与特征向量

$(Ⅱ)$ 求矩阵 $A$ .

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2011年考研数二第22题解析：线性相关、线性表示、秩、可逆矩阵

题目

设向量组 $α_{1} = (1, 0, 1)^{⊤}$ , $α_{2} = (0, 1, 1)^{⊤}$ , $α_{3} = (1, 3, 5)^{⊤}$ 不能由向量组 $β_{1} = (1, 1, 1)^{⊤}$ , $β_{2} = (1, 2, 3)^{⊤}$ , $β_{3} = (3, 4, a)^{⊤}$ 线性表示。

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；

$(Ⅱ)$ 将 $β_{1}$ , $β_{2}$ , $β_{3}$ 用 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ 线性表示。

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2011年考研数二第14题解析：二次型、特征值和正负惯性指数

题目

二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $x_{1}^{2}$ $+$ $3 x_{2}^{2}$ $+$ $x_{3}^{2}$ $+$ $2 x_{1} x_{2}$ $+$ $2 x_{1} x_{3}$ $+$ $2 x_{2} x_{3}$ , 则 $f$ 的正惯性指数为__.

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题目

设 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$ 是四阶矩阵， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $(1, 0, 1, 0)^{⊤}$ 是方程组 $A X = 0$ 的一个基础解系，则 $A^{*} X = 0$ 的基础解系可为 $()$

$(A) α_{1}, α_{3}$

$(B) α_{1}, α_{2}$

$(C) α_{1}, α_{2}, α_{3}$

$(D) α_{2}, α_{3}, α_{4}$

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题目

设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 $2$ 列加到第 $1$ 列得矩阵 $B$ , 再交换 $B$ 的第 $2$ 行与第 $3$ 行得单位矩阵. 记 $P_{1} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ , $P_{2} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$ , 则 $A = ()$ .