问题
设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导,且 $f'(x_{0})$ $=$ $0$, 则以下哪个选项是函数极值【不存在】的一个【充分条件】?选项
[A]. $f'(x_{0})$ $\neq$ $0$[B]. $f'(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两边变号
[C]. $f'(x)$ 不存在
[D]. $f'(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两边不变号
关于必要条件,可以查看荒原之梦网的这篇文章:《什么是必要条件?》
关于函数极值的更多内容,可以参考荒原之梦网的这篇文章:《什么是极值点和最值点?》
完整版:
$\cot x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$
求和版:
$\cot x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$
简略版:
$\cot x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$
完整版:
$\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$
求和版:
$\csc x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$
简略版:
$\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$
完整版:
$\sec x$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$ $.$
求和版:
$\sec x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$ $.$
简略版:
$\sec x$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $.$
完整版:
$\arcsin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$
求和版:
$\arcsin x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $.$
简略版:
$\arcsin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$
与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,
$\arcsin x$ $\sim$ $x$ $.$
$\arcsin x$ $\sim$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\arcsin x$ $-$ $x$ $\sim$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$
完整版:
$\arctan x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$
求和版:
$\arctan x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$
简略版:
$\arctan x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$
与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\arctan x$ $\sim$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$
完整版:
$\frac{1}{1+x}$ $=$ $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n}$ $.$
求和版:
$\frac{1}{1+x}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n}$ $.$
简略版:
$\frac{1}{1+x}$ $=$ $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $.$
$\frac{1}{1+x}$ 的麦克劳林公式其实就是当 $a$ $=$ $-1$ 时,$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式.
完整版:
$\frac{1}{1-x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n}$ $.$
求和版:
$\frac{1}{1-x}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $x^{n}$ $.$
简略版:
$\frac{1}{1-x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{3}$ $.$
$\frac{1}{1-x}$ 的麦克劳林公式其实就是当 $a$ $=$ $-1$ 时,$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式.
完整版:
$\tan x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$
求和版:
$\tan x$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$
简略版:
$\tan x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$
与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\tan x$ $\sim$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\tan x$ $-$ $x$ $\sim$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $,$ $\tan x$ $\sim$ $x$ $.$