两个平行平面间的性质（B009）

问题

若平面 ${\pi }_1$ 的表达式为 $A_{1}x$ $+$ $B_{1}y$ $+$ $C_{1}z$ $+$ $D_1$ $=$ $0$, 平面 ${\pi }_2$ 的表达式为 $A_{2}x$ $+$ $B_{2}y$ $+$ $C_{2}z$ $+$ $D_2$ $=$ $0$. 此外，平面 ${\pi }_1$ 和 ${\pi }_2$ 的法向量分别为 $\overrightarrow{n_1}$ $=$ $(A_1,B_1,C_1)$ 和 $\overrightarrow{n_2}$ $=$ $(A_1,B_2,C_2)$.

那么，若 ${\pi }_1$ $//$ ${\pi }_2$, 则可以引申出来哪些性质？

选项

[A].   ${\pi }_1$ $//$ ${\pi }_2$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}$ $//$ $\overrightarrow{n_2}$ $\iff$ $A_1{A}_2$ $=$ $B_1{B}_2$ $=$ $C_1{C}_2$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}$ $\times$ $\overrightarrow{n_2}$ $=$ $0$

[B].   ${\pi }_1$ $//$ ${\pi }_2$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}$ $\perp$ $\overrightarrow{n_2}$ $\iff$ $\frac{A_1}{A_2}$ $=$ $\frac{B_1}{B_2}$ $=$ $\frac{C_1}{C_2}$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}$ $\times$ $\overrightarrow{n_2}$ $=$ $0$

[C].   ${\pi }_1$ $//$ ${\pi }_2$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}$ $//$ $\overrightarrow{n_2}$ $\iff$ $\frac{A_1}{A_2}$ $=$ $\frac{B_1}{B_2}$ $=$ $\frac{C_1}{C_2}$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}$ $\cdot$ $\overrightarrow{n_2}$ $=$ $1$

[D].   ${\pi }_1$ $//$ ${\pi }_2$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}$ $//$ $\overrightarrow{n_2}$ $\iff$ $\frac{A_1}{A_2}$ $=$ $\frac{B_1}{B_2}$ $=$ $\frac{C_1}{C_2}$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}$ $\times$ $\overrightarrow{n_2}$ $=$ $0$

   答 案   

${\pi }_1$ $//$ ${\pi }_2$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}$ $//$ $\overrightarrow{n_2}$ $\iff$ $\frac{A_1}{A_2}$ $=$ $\frac{B_1}{B_2}$ $=$ $\frac{C_1}{C_2}$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}$ $\times$ $\overrightarrow{n_2}$ $=$ $0$