一、题目
对变上限积分:
$$
\textcolor{orange}{
\int_{0}^{x} t f(x – t) \mathrm{d} t}
$$
进行求导运算的结果是什么?
继续阅读“对变上限积分 $\int_{0}^{x}$ $t f(x – t)$ $\mathrm{d} t$ 进行求导运算”对变上限积分:
$$
\textcolor{orange}{
\int_{0}^{x} t f(x – t) \mathrm{d} t}
$$
进行求导运算的结果是什么?
继续阅读“对变上限积分 $\int_{0}^{x}$ $t f(x – t)$ $\mathrm{d} t$ 进行求导运算”$$
\textcolor{tan}{
\int e^{\int (\frac{1}{y^{2}} – \frac{2}{y}) \mathrm{d} y} \mathrm{d} y} = ?
$$
当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,有一个重要的等价无穷小:
$$
\textcolor{orange}{e^{x} – 1 \sim x}
$$
但是,有时候我们可能会将该等价无穷小错记成下面这种形式:
$$
\textcolor{gray}{1 – e^{x} \sim x}
$$
在数学中,通过寻找不同的公式之间的相同点或者差异点,可以让我们对公式的记忆与理解更加深入,例如:
$$
1 + \tan^{2} \alpha = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$
$$
(\tan \alpha)^{\prime} = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$
即:
$$
1 + \tan^{2} \alpha \textcolor{red}{=} (\tan \alpha)^{\prime}
$$
已知函数 $u$ $=$ $u(x)$, $v$ $=$ $v(x)$, 则针对 $(u v)^{\prime}$ 的求导计算公式如下:
$$
(u v)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}
$$
但是,由于一些原因,有时候我们可能会无法确定 $(u v)^{\prime}$ 到底是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{orange}{+}$ $u v^{\prime}$ 还是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{red}{-}$ $u v^{\prime}$
继续阅读“用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $+$ $u v^{\prime}$”$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{x} = ?
$$
$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{y} = ?
$$
继续阅读“变限积分求导例题:被积函数中含有积分上下限”补充资料:
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结.
已知 $a$ 为常数,计算如下定积分:
$$
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x
$$
已知,当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时:
$$
(1+x)^{a} – 1 \sim ax
$$
其中,非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中,$d$ 为非零常数,$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且:$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.
则,试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$
其中,非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中,$d$ 为非零常数,$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且:$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.
则,试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$
其中,非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且:$a$ $=$ $-1$.
则,试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$