一、题目
$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0.0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) = ?
$$
难度评级：
二、解析 
由于：
$$
x^{2}+y^{2} \geqslant 2 x y \Rightarrow x y \leq \frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)
$$
因此：
$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \leqslant \frac{1}{2} \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)
$$
令：
$$
r=x^{2}+y^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2} \rightarrow 0 \Rightarrow r \rightarrow 0^{+}
$$
则：
$$
\frac{1}{2} \lim \limits_{r \rightarrow 0^{+}} r \ln r=\frac{1}{2} \lim \limits_{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln r}{\frac{1}{r}}=
$$
$$
\frac{1}{2} \lim \limits_{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{-1}{r^{2}}}=\frac{1}{2} \lim \limits_{r \rightarrow 0^{+}}(-r)=0
$$
于是：
$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=0
$$
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