一层一层剥洋葱：从可降阶微分方程到变量可分离的微分方程再到另一个变量可分离的微分方程

一、题目

初值问题 $\left\{\begin{array}{l}1+\left(y^{\prime}\right)^{2}=2 y y^{\prime \prime}, \\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=-1\end{array}\right.$ 的特解是（）

难度评级：

二、解析

本题所给的方程式属于不显含 $x$ 的可降阶微分方程，于是，令 $p(y)=y^{\prime}$, 则：

$$
p(y)=y^{\prime}=\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x} \Rightarrow \frac{d^{2} y}{\mathrm{~ d} x^{2}}=\frac{d}{\mathrm{~ d} x}\left(\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}\right)=
$$

$$
\frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} x}=\frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} y} \cdot \frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} y} \cdot p
$$

于是：

$$
1+\left(y^{\prime}\right)^{2}=2 y y^{\prime \prime} \Rightarrow
$$

$$
1+p^{2}=2 y \cdot p \cdot \frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} y} \Rightarrow
$$

$$
1+p^{2}=\frac{y \cdot 2 p \mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} y} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1+p^{2}}{2 p \mathrm{~ d} p}=\frac{y}{\mathrm{~ d} y} \Rightarrow
$$

分离变量：

$$
\frac{2 p}{1+p^{2}} \mathrm{~ d} p-\frac{1}{y} \mathrm{~ d} y=0 \Rightarrow
$$

同时积分：

$$
\int \frac{2 p}{1+p^{2}} \mathrm{~ d} p-\int \frac{1}{y} \mathrm{~ d} y=\ln C_{1} \Rightarrow
$$

$$
\ln \left(1+p^{2}\right)-\ln (y)=\ln C_{1} \Rightarrow
$$

$$
\ln \left(1+p^{2}\right)=\ln C_{1}+\ln (y) \Rightarrow
$$

$$
\ln \left(1+p^{2}\right)=\ln \left(C_{1} y\right) \Rightarrow
$$

$$
1+p^{2}=C_{1} y \Rightarrow
$$

$$
y(1)=1, \ p(y)|_{x = 1}=y^{\prime}(1)=-1 \Rightarrow
$$

$$
1+1=C_{1} \times 1 \Rightarrow C_{1}=2 \Rightarrow
$$

$$
1+p^{2}=2 y \Rightarrow p^{2}=2 y-1 \Rightarrow
$$

$$
p=\sqrt{2 y-1}
$$

或者：

$$
p=-\sqrt{2 y-1}
$$

Tips:

接下来，我们需要验证，在题设条件下，$p$ 到底和哪一个式子相等。

又：

$$
x=1 \Rightarrow y=1, \quad p=-1 \Rightarrow \sqrt{2 y-1}=1 \neq-1
$$

因此：

$$
p \neq \sqrt{2 y-1}
$$

$$
p=-\sqrt{2 y-1} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\frac{-\sqrt{2 y-1}}{1} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{-\sqrt{2 y-1}}=1 \cdot \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
-\int \frac{1}{\sqrt{2 y-1}} \mathrm{~ d} y-\int 1 \mathrm{~ d} x=0
$$

又：

$$
[(2 y-1)^{\frac{1}{2}}]^{\prime}=\frac{1}{2}(2 y-1)^{\frac{-1}{2}} \cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2 y-1}}
$$

于是：

$$
-\int \frac{1}{\sqrt{2 y-1}} \mathrm{~ d} y-\int 1 \mathrm{~ d} x=0 \Rightarrow
$$

$$
-\sqrt{2 y-1}-x=C_{2} \Rightarrow x=1 \Rightarrow y=1 \Rightarrow
$$

$$
-1-1=C_{2} \Rightarrow C_{2}=-2 \Rightarrow
$$

$$
-\sqrt{2 y-1}-x=-2 \Rightarrow
$$

$$
\sqrt{2 y-1}+x=2 \Rightarrow
$$

$$
\sqrt{2 y-1}=2-x \Rightarrow
$$

$$
2 y-1=4+x^{2}-4 x \Rightarrow
$$

$$
2 y=x^{2}-4 x+5 \Rightarrow
$$

$$
y=\frac{1}{2}\left(x^{2}-4 x+5\right)
$$

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