分类： 高等数学

微分方程 $y^{\prime \prime \prime} – y = 0$ 的通解 $y = \underline{\hspace{26px}}$

已知函数 $f\left(t\right) = \int_{1}^{t^{2}} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{x}}^{t} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y$, 则 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \underline{\hspace{26px}}$

已知函数 $f\left(t\right) = \int_{1}^{t} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{x}}^{1} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y$，则 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \underline{\hspace{26px}}$

设函数 $z=z\left(x,y\right)$ 由方程 $\left( x+1 \right)z + y \ln z – \arctan \left( 2xy \right) = 1$ 确定，则 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(0,2\right)} = \underline{\hspace{26px}}$

设函数 $y = y \left(x\right)$ 由参数方程 $\begin{cases} x=2\mathrm{e}^{t}+t+1 \\ y=4\left(t-1\right)\mathrm{e}^{t}+t^{2} \end{cases}$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\right|_{t=0}=\underline{\hspace{26px}}$

$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\left| x \right|3^{-x^{2}}\mathrm{~d}x=\underline{\hspace{26px}}
$$

设函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上连续，则 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x = ?$

设函数 $f\left(x, y\right)$ 可微，且 $f\left(x + 1, \mathrm{e}^{x}\right) = x \left(x + 1\right)^{2}$, $f\left(x, x^{2}\right) = 2 x^{2} \ln x$, 则 $\mathrm{d} f\left(1, 1\right) =$

设函数 $f \left( x \right) = \sec x$ 在 $x = 0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $1 + a x + b x^{2}$, 则（ ）

设函数 $f\left(x\right) = a x-b \ln x \left(a>0\right)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（ ）

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2 \mathrm{cm}/\mathrm{s}$, $-3 \mathrm{cm}/\mathrm{s}$. 当底面半径为 $10 \mathrm{cm}$, 高为 $5 \mathrm{cm}$ 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ ）