高等数学

一、题目

已知 $f(x)$ 有二阶连续导数, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$, $f^{\prime \prime}(x)>0$, 又设 $u=u(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{u(x)}=?$

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一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续, 且 $f(x)=a+g(x)$, 其中 $a \neq 0$ 为常数, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$,又 $\int_{0}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t=b$, 则 $x \rightarrow+\infty$ 时，$y=F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 有渐近线（）

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导数和原函数的周期性是一致的

一、题目

已知 $f(x)$ 是周期为 $5$ 的连续函数, 在 $x=0$ 的某个邻域内, 满足 $f(1+\sin x)-3 f(1-\sin x)=8 x+\alpha(x)$. 其中当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $\alpha(x)$ 是关于 $x$ 的高阶无穷小, 且 $f(x)$ 在 $x=1$ 点可导, 则曲线 $y=f(x)$在点 $(6, f(6))$ 处的切线方程为（）

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这个无穷阶导数的规律你会找吗？

一、题目

设 $f(x)=\frac{4 x-3}{2 x^{2}-3 x-2}$, 则 $f^{(n)}(x)=?$

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这道题相当考研提取“公因式”的能力

一、题目

若 $f(x)=(x-1) x^{\frac{2}{3}}$, 则 $f(x)$ 的凸区间是（），拐点的横坐标是（）

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如何确定隐函数的极值点？

一、题目

设 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是哪个？

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矩阵乘以其转置矩阵不改变秩的大小

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 下列命题中正确的是哪个？

(A) 如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{E}$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ 或 $\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{E}$

(B) 如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$

(D) 如果 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$

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不要被这道题题目中所用的变量名迷惑了哦

一、题目

已知 $A, B$ 都是不等于零的常数, 则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解：

(A) $y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
(B) $y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
(C) $y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$
(D) $y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$

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右端项为三角函数的二阶微分方程的特解你会求解吗？

一、题目

已知，常数 $b > 0$, 则下面微分方程的特解是多少：

$$
y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y = \sin x
$$

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二、解析

§2.1 基础回顾

我们知道，对于形如 $y^{ \prime \prime }$ $+$ $p y^{ \prime }$ $+$ $q y$ $=$ $f (x)$ 的二阶常系数非齐次微分方程，如果 $P_{n} (x)$ 是一个 $n$ 词多项式，且：

$$
f (x) = P_{n} (x) \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \sin \beta x }
$$

或者：

$$
f (x) = P_{n} (x) \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \cos \beta x }
$$

则该二阶微分方程的特解 $y ^{*}$ 可以设为：

$$
y^{*} (x) = x^{\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k }} } \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{ \alpha x } } \left[ \textcolor{springgreen}{ Q_{n} (x) } \textcolor{orange}{ \cos \beta x } + \textcolor{springgreen}{ W_{n} (x) } \textcolor{orange}{ \sin \beta x } \right]
$$

其中：
[*]. 若 $\textcolor{magenta}{ \alpha } \pm i \textcolor{orange}{ \beta }$ 不是该微分方程的特征根，则 $\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k = 0 }}$;
[**]. 若 $\textcolor{magenta}{ \alpha } \pm i \textcolor{orange}{ \beta }$ 是该微分方程的特征根，则 $\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k = 1 }}$;
[***]. $\textcolor{springgreen}{ Q_{n}\left(x\right) }$ 和 $\textcolor{springgreen}{ W_{n}\left(x\right) }$ 为 $n$ 次多项式的一般形式。

§2.2 解题过程

从上面的基础知识我们知道，要设微分方程的特解，就要先求出来该微分方程对应的特征值，于是：

$$
\require{extpfeil}\Newextarrow{\xRightarrow}{5,5}{0x21D2}
\begin{aligned}
& y^{ \prime \prime } + b^{2} y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \lambda^{2} + b^{2} = 0 \\ \\
\xRightarrow{\mathrm{i} ^{2} = -1 \ } & \begin{cases}
\lambda_{1} = + b \mathrm{i} \\
\lambda_{2} = – b \mathrm{i}
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\lambda_{1} = 0 + b \mathrm{i} \\
\lambda_{2} = 0 – b \mathrm{i}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

由于：

$$
\begin{aligned}
y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \sin x \\ \\
\Rightarrow y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \textcolor{springgreen}{ 1 } \cdot \textcolor{magenta}{\mathrm{e} ^{0x}} \cdot \textcolor{orange}{ \sin 1 x } \\ \\
\Rightarrow y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \textcolor{springgreen}{ P_{n} (x) } \cdot \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \sin \beta x } \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
\alpha = 0 \\
\beta = 1
\end{cases}
\end{aligned}
$$

于是可知，当特征值中的 $b$ 等于 $1$ 的时候，特征值 $0 \pm \mathrm{i}$ 刚好等于 $\alpha \pm \mathrm{i} \beta$, 所以，我们需要分情况讨论 $b$ 的取值：

[01]. 当 $b = 1$ 时

特解可以设为：

$$
\textcolor{orange}{
y^{*} = A x \cos x + B x \sin x
} \tag{1}
$$

将上面的 $(1)$ 式代入原微分方程 $y ^ { \prime \prime }$ $+$ $b ^ { 2 } y$ $=$ $\sin x$, 计算步骤如下：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} = A x \cos x \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} = Bx \sin x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime} = A \cos x – A x \sin x \\
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime} = B \sin x + B x \cos x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} = -2A \sin x – A x \cos x \\
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} = 2B \cos x – B x \sin x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} + b ^{2} \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) = \sin x \\ \\
\xRightarrow{b = 1 \ } & \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) = \sin x \\ \\
\Rightarrow & -2A \sin x + 2B \cos x = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
-2A = 1 \\
2B = 0
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
A = – \frac { 1 } { 2 } \\
B = 0
\end{cases} }
\end{aligned}
$$

于是，此时微分方程的特解为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y = – \frac{1}{2} \textcolor{white}{\colorbox{green}{x}} \cos x
}
}
$$

[02]. 当 $b \neq 1$ 时

特解可以设为：

$$
\textcolor{orange}{
y^{*} = C \cos x + D \sin x
} \tag{2}
$$

将上面的 $(2)$ 式代入原微分方程 $y ^ { \prime \prime }$ $+$ $b ^ { 2 } y$ $=$ $\sin x$, 计算步骤如下：

$$
\begin{aligned}
& y^{ \prime \prime } + b^{ 2 } y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & -C \cos x – D \sin x + b ^{2} \left( C \cos x + D \sin x \right) = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
-D + b ^{2} D = 1 \\
-C + b ^{2} C = 0
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
C = 0 \\
D = \frac { 1 } { b ^ { 2 } – 1 }
\end{cases} } \\ \\
\end{aligned}
$$

于是，此时微分方程的特解为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y = \frac{1} { a^{2} – 1 } \sin x
}
}
$$

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

页码： 12

只有线性无关的解才能组合形成齐次微分方程的通解

一、题目

已知 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解, $C_{1}, C_{2}$是两个任意常数, 则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是：

(A) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$
(B) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$
(C) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$
(D) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$

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只有齐次线性方程组的解相减得到的解才一定是新的解

一、题目

已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为：

(A) $y=C y_{1}(x)$
(B) $y=C y_{2}(x)$
(C) $y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$
(D) $y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$

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不连续的函数可能有导数，但只有连续的函数才会一定有原函数

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}\right.$, $\quad g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$, 则在区间 $(-1,1)$ 上

(A) $f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数
(B) $f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数
(C) $f(x)$ 不存在原函数, $g(x)$ 存在原函数
(D) $f(x)$ 存在原函数, $g(x)$ 不存在原函数

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