荒原之梦 – 第 36 页

一、前言

各种积分符号的写法与含义汇总 | 荒原之梦考研数学 | 图片由 Stephen Wolfram, LLC 拍摄，采用 MIT 协议授权。 — 图 01. 莱布尼茨（*Leibniz*）有关积分和微分表示法的手稿，这是在互联网上可以获取到的几乎最清晰的照片：正是莱布尼茨最先发明并使用了积分符号。

在考研高等数学中，我们会接触到很多种积分符号，这些积分符号有着各自的书写方式与含义。在本文中，「荒原之梦考研数学」就汇总常见的积分符号及其含义，在文末还有一段积分符号的历史介绍给大家哦~

一、题目

已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足：

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{A} = \frac{1}{3} (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}) \\ \\
\boldsymbol{A} ^{2} = \boldsymbol{A}
\end{cases}
$$

则：

$$
\boldsymbol{B} = ?
$$

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每日箴言：不同的季节，阳光有不同的味道

夏日晴空下的阳光干裂刺眼，冬日晨霜中的阳光凌冽温煦，梅雨时节里的阳光清新粘滞——小时候的阳光明媚轻快，生机勃勃，长大后的阳光却似乎只是阳光，没有特色，每一缕都像是单调的复制粘贴。但其实，每个阶段的阳光都有自己的味道，只是需要一段时间的酝酿，正如一罐罐老酒，只有在未来才能喝出当下的滋味。

2024 年 07 月 25 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：图为 2023 年 7 月冰岛法格拉达尔火山的爆发，该火山是一座位于冰岛南半岛区的平顶火山，形成于末次冰期，距离冰岛首都雷克雅未克市约 40 千米。这座火山长 16 千米，宽 5 千米，最高峰是高度 385 米的朗霍尔峰。该图片由无人机近距离拍摄。
作者：Giles Laurent
授权协议：本文件采用知识共享署名 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 07 月 26 日 17 时 38 分
相机坐标：西经 22° 12′ 07.6″, 北纬 63° 55′ 00.6″
来源：wikimedia.org

a+b 的平方到底该怎么展开？

一、前言

「荒原之梦考研数学」的这篇文章的标题看上去很“无聊”，因为现在正在看这篇文章的同学，几乎不会有人不知道怎么展开 $(a + b) ^{2}$.

那么，这篇文章的目的是什么呢？

其实，这篇文章只是想表达：

在考研数学的学习中，我们只要能保证遵守最基本的定理逻辑，在定理形式的理解和表达上，就可以自己怎么喜欢怎么来，怎么方便怎么来。

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每日箴言：我们小时候就明白的道理，长大了也许却没有好好实践

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Christopher Crouzet

越来越觉得，小时候学校教室里那句“好好学习天天向上”，简直就是至理名言——谁都没法否认的是，一个努力的人，一个向往更美好未来并为之不懈努力的人，就是幸福的人，就是可敬的人，就是堂堂正正的人。我们时常会听到来自别人的很多学习的经验和奋斗的智慧，也许这些“经验”和“智慧”装饰着各种各样华丽的辞藻，但其实，最朴素的，仍然是要“好好学习”，学习知识，学习技能，学习与自己和世界相处的方式；而最根本的，就是要“天天向上”，让生命充实饱满，让人生热烈绽放，让世界，看到我们的光。

2024 年 07 月 24 日

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描述：图为中美洲国家危地马拉的帕卡亚火山，该火山是一座复合型活火山，坐落在沿太平洋的中美洲火山弧上，海拔 2252 米，距离联合国教科文组织评定的世界文化遗产安地瓜古城和危地马拉首都危地马拉城的拉奥罗拉国际机场的直线距离各约 20 公里。
作者：Christopher Crouzet
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2013 年 12 月 20 日 17 时 36 分
相机坐标：西经 90° 36′ 12.62″, 北纬 14° 22′ 59.01″
来源：wikimedia.org

并集表示“或”，交集表示“且”

一、题目

若用 $A$, $B$, $C$ 表示三个事件，请用 $A$, $B$, $C$ 以及概率论中的运算符号，表示下列事件：

$A$, $B$, $C$ 都发生；
$A$, $B$, $C$ 都不发生；
$A$ 发生，但 $B$ 与 $C$ 不发生；
$A$ 与 $B$ 都发生，但 $C$ 不发生；
$A$, $B$, $C$ 中至少有一个发生；
$A$, $B$, $C$ 中至多有一个发生；
$A$, $B$, $C$ 中至多有两个发生；
$A$, $B$, $C$ 中至少有两个发生。

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每日箴言：心灵只能由心灵来慰藉

视觉、听觉、味觉和触觉上五光十色的体验，很容易让人感到快乐，但真正的快乐，长久的快乐，往往来自于内心世界的相互交流——这种交流，也许是一段文字、也许是一个眼神、也许是冥冥之中的所见略同。世界表面看上去如此喧嚣夺目，但真正进行着内心交流的世界，却有着自己的静谧与轻微但优美的律动。

2024 年 07 月 23 日

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描述：图为建于 1572 至 1578 年的条顿骑士团前水上城堡，位于德国海尔布隆市的基尔斯豪森区。
作者：Roman Eisele
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2022 年 06 月 14 日 19 时 34 分
相机坐标：未知
来源：wikimedia.org

用改进的韦恩（Venn）图理解概率论中的“摩根律”

一、前言

根据概率论中的摩根律，我们知道，对于事件 $A$ 和事件 $B$, 有：

$$
\begin{aligned}
\overline{A \cup B} & = \bar{A} \cap \bar{B} \\
\overline{A \cap B} & = \bar{A} \cup \bar{B}
\end{aligned}
$$

有关摩根律的推导和理解有很多种方式方法，在本文中，「荒原之梦考研数学」将对韦恩图（Venn）进行改进，从而更好的解释摩根律。

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每日箴言：万物都有哲理，世界就是我们的老师

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Donatas Dabravolskas

一草一木的坚韧，一砖一石的恒久，一束光芒的热烈明亮，一串河流的温婉透彻，都在述说着古老又新鲜的哲理。所以，向大自然学习吧，那是知识的源泉和宝库。

2024 年 07 月 22 日

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描述：图为巴西里约热内卢的日落，背景左侧为塔糖山。
作者：Donatas Dabravolskas
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2016 年 04 月 05 日 06 时 12 分
相机坐标：未知
来源：wikimedia.org

空集和空集及任何集合相互独立，全集与全集及任何集合也相互独立

一、题目

已知三个事件 $A$, $B$, $C$, $P ( A \cup B )$ $=$ $0$, 则以下关于事件 $\bar{A}$, $\bar{B}$, $\bar{C}$ ^[Note-01] 的说法中，正确的是哪个？

[A]. 两两独立，但不一定三三独立

[B]. 全部相互独立 ^[Note-02]

[C]. 一定不两两独立

[D]. 不一定两两独立

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每日箴言：不要放弃自己的特点，因为这是你区别于他人的标志

我们需要一些个人的特点来定义什么是“我”，但也常常需要顶着来自他人的压力——世界总是倾向于变得越来越相似，相似本身没有什么错误，但世界的多姿多彩和发展进步，只能诞生于一处又一处的“不相似”，诞生于一个又一个独特的人与独特的灵魂。

2024 年 07 月 21 日

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描述：图为背靠位于瑞士西南部瓦莱州的上克里山的城堡瓦莱里城堡。
作者：Christian David
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2022 年 07 月 04 日 08 时 32 分
相机坐标：未知
来源：wikimedia.org

利用好分块矩阵的性质，可以节省计算步骤

一、题目

已知：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

则：

$$
\boldsymbol{A B} = ?
$$

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每日箴言：光只有三种原色，却足以令世界恢弘多彩

绚丽的世界，只由三种光原色组成，参天的大树，也发源于一粒小小的种子和嫩芽——所以，不要嘲笑自己有多么渺小，我们可以成为自己梦想的种子，不断的生根发芽，把根须深入大地，让枝叶直冲云霄！

2024 年 07 月 20 日

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描述：图为澳大利亚新南威尔士州悉尼达令港的夜景。
作者：Dietmar Rabich
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2019 年 10 月 25 日 21 时 41 分
相机坐标：东经 151° 12′ 01.32″, 南纬 33° 52′ 14.24″
来源：wikimedia.org

这道题你去几次根号可以解出来？

一、题目

$$
\begin{aligned}
I = \\ \\
& \int \frac{\ln x}{\sqrt{x ^{3} (1-x)}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$

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每日箴言：风雨，是挫折，也是甘露

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Dominicus Johannes Bergsma

成功是需要代价的，这个代价就是要越过一道道考验，跨过一个个崎岖，正所谓——天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能！

2024 年 07 月 19 日

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描述：图为被雨水打湿的残花（堆心菊“黄金国”），由 71 张相片叠焦而成。
作者：Dominicus Johannes Bergsma
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 07 月 22 日 08 时 04 分
相机坐标：东经 5° 47′ 04.2″, 北纬 52° 58′ 02.82″
来源：wikimedia.org