荒原之梦 – 第 37 页

收敛的数项级数的项会越来越小，但项越来越小的数项级数不一定收敛

一、题目

下面的数项级数是收敛还是发散？

$$
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots
$$

难度评级：

继续阅读

每日箴言：我们对世界仍然知之甚少

人类对世界的探索和改造看似已经非常充分，但其实，表面的充分之下，或许是因为还有很多我们未曾注意到的深渊，那里幽深且静谧，在深邃的尽头，闪烁着奇异的光芒。

2024 年 08 月 27 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

⁜ 图片信息 ⁜
描述：一辆向南行驶前往肯宁顿（Kennington）的伦敦地铁北线 1995 年型列车正在通过几乎是圆形的地铁隧道口，该隧道口位于亨顿中央车站（Hendon Central station）以北。
作者：SPSmiler
授权协议：公有领域授权
拍摄时间（当地时间）：2009 年 06 月 21 日 15 时 39 分
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

一、前言

在高等数学（考研数学）中，我们为了判断某些题目，可能需要举一些反例，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们带来三种比较特殊的函数，这些函数也是我们在寻找反例的时候，很容易用上的工具。

继续阅读

每日箴言：风浪的洗礼可以磨平岩石的棱角，但也扩大的海岸的胸怀

人生要不断的经历，不断的改变，才能适应环境的需求——虽然改变意味着失去，但也意味着新的可能。

2024 年 08 月 26 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：法国布列塔尼半岛普罗高夫镇 Pors-Loubous 码头暴风中的海浪和小船。
作者：Henri Camus
授权协议：本文件采用知识共享署名 1.0 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 03 月 27 日
相机坐标：西经 4° 39′ 48.3″, 北纬 48° 01′ 30.3″
来源：wikipedia.org

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们带来有关分块矩阵的秩的有关结论与多种证明方法。

继续阅读

每日箴言：我们不能记录下生活中的每时每刻——逝者如斯夫，不舍昼夜

人类发明了文字，发明了摄影，发明了雕塑，但是，我们永远无法留住过去，也永远无法记录过去，过去了的，从来未曾停下脚步。

2024 年 08 月 25 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：加拿大班夫国家公园的梦莲湖。
作者：Gorgo
授权协议：公有领域
拍摄时间（当地时间）：2005 年 09 月 17 日 18 时 53 分
相机坐标：西经 116° 10′ 47.6″, 北纬 51° 19′ 40.2″
来源：wikipedia.org

一、前言

已知 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} }
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。

继续阅读

每日箴言：接受自己的平凡，努力创造不凡

接受平凡，就是认清自己当下的能力和处境，不好高骛远，也不妄自菲薄；而努力创造不凡，就是最大化的利用现有资源，努力创造更美好的未来，而不是放弃成就更好明天的可能。

2024 年 08 月 24 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：位于德国巴伐利亚州西南方，距离德国菲森镇约 4 公里的新天鹅堡。这座城堡高 65 米，是巴伐利亚国王路德维希二世的行宫之一，共有超过 200 个房间，但只有 14 个房间依照设计彻底完工，其他的房间则因为国王在 1886 年逝世而未完成。
作者：Softeis
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2005 年 06 月 21 日 11 时 46 分
建筑坐标：东经 10° 44′ 58″, 北纬 47° 33′ 27″
相机坐标：东经 10° 43′ 49″, 北纬 47° 32′ 22″
来源：wikipedia.org

证明：数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过数字在乘法和减法中“牵制”能力的区别，简易地证明下式（数字的平均值相乘大于或等于每个数字相乘）：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}
}
$$

为了更便于理解，同学们可以将本文中的“牵制”理解为“拖累”——小数字对大数字的“拖累”效果在乘法中比在减法中变现更突出。

继续阅读

每日箴言：只要在翱翔，什么样的姿态都很美

人生，当然要拥有一些什么，才能进一步施展才华，但是，人生，也不是必须要拥有什么，而后才能优雅地翱翔。

2024 年 08 月 23 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：英国伦敦圣詹姆斯公园的黑头鸥。
作者：Diliff
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 11 月 19 日 14 时 42 分
相机坐标：西经 0° 08′ 00″, 北纬 51° 30′ 06″
来源：wikipedia.org

幂指函数的求导策略：什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”？什么时候用“$\ln$ 落下”？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过计算下面三个式子的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的方式，给同学们讲清楚在对幂指函数求导时，什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”，什么时候用“$\ln$ 落下”：

$$
\begin{aligned}
① \quad y = & \ x ^{\sin x} \\
② \quad y = & \ x^{\cos x} + x^{x} \\
③ \quad y = & \ x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}
\end{aligned}
$$

继续阅读

对等式等号两边同时做操作的时候要注意“对等原则”

一、前言

在做题的时候，我们可能需要借助同时在等式的等号两边做某种操作的方式对原式进行变形处理，例如对等号两边同时取对数、同时求导、同时取倒数、同时乘以或者除以某个量等。

但是，在做这些操作的时候，我们必须要注意“对等原则”。所谓“对等原则”，就是等号两边无论各自有多少组成部分，都要以等号为界，分为两个整体，做任何操作，都要以这两个整体为基本单位进行。

接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一些实际的例子，给同学们讲清楚这个计算过程中的易错点。

Note

换句话说，所谓“对等原则”要解决的问题就是：对等式两边取对数，是对整体“取”，还是各项“取”？
zhaokaifeng.com

继续阅读

每日箴言：没有人能代替我们去走自己人生的路

每个人都不是一个独立的个体，我们需要与人交流，需要与人合作，需要有人陪伴和陪伴他人，但是，人生的路始终都是自己的路，没有人可以替代我们去走自己人生的路，过去和未来的每一个脚印，都是我们自己迈出的。

2024 年 08 月 22 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：瑞士阿尔卑斯山布来特峰上的龙胆花。
作者：Dirk Beyer
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2005 年 06 月 11 日 10 时 16 分
相机坐标：
来源：wikipedia.org

关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称

一、题目

计算下面函数的二阶偏导数 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}$ 和 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}}$:

$$
\begin{aligned}
⟬A⟭. \quad z(x, y) = \ & x ^{2} + y^{2} – 3 x^{4} y^{4} \\ \\
⟬B⟭. \quad z(x, y) = \ & \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}
\end{aligned}
$$

难度评级：

继续阅读

每日箴言：未来不可知，但奔赴未来，是我们的使命

我们不知道前路有什么，但我们知道“莫愁前路无知己”，我们不知道何时会“功成名就”，但我们不能因此而迟疑，更不能因此而放弃。

2024 年 08 月 21 日

⁜ 图片信息 ⁜
描述：奥地利维也纳美泉宫花园中的罗马式观景亭。
作者：David Monniaux
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2005 年 04 月 27 日 09 时 05 分
相机坐标：东经 16° 18′ 31.8″, 北纬 48° 10′ 45.7″
来源：wikipedia.org