荒原之梦 – 第 32 页

一、题目

请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在，并求解其极限：

$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$

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每日箴言：在没有风的日子里，起舞仍然有意义

没有风的时候，裙摆不会摇曳，树叶不会鼓掌，大地一片寂静。但是，没有风的时候，起舞仍然具有意义，这是一种默不作声的礼赞，沉静且非凡，当风到来的时候，将变得轻盈又绚烂。

2024 年 09 月 18 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：位于美国加利福尼亚州巴斯托附近的 Goldstone 太阳系雷达（该雷达属于深空探测网络的一部分）于 2024 年 09 月 16 日发现了这颗编号为 2024 ON 的花生形状的小行星，这颗小行星长约 350 米，在被发现的一天后从距离地球约 100 万公里处掠过，这个距离大约是月球与地球之间距离的 2.6 倍。
Credit: NASA/JPL-Caltech

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：

$$
\boldsymbol{A B} = \boldsymbol{E}
$$

则：

$$
\boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \right)^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} = ?
$$

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每日箴言：比高山更高的山，比深海更深的海

地球的山峦湖海，已经非常壮丽，这使得我们常常会忘记，宇宙之中，还存在比我们此生见到山更高的山，以及比我们此生见到的海更深的海——在宇宙的某一隅，还有绵延数万公里的冰晶山，滚烫沸腾的岩浆海，甚至席卷半个星球的风暴。

2024 年 09 月 17 日

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描述：这是一幅艺术想象图，描绘了正在围绕木星运行的 NASA 欧罗巴快艇（Europa Clipper）号航天器，和与欧罗巴快艇号擦身而过的被冰雪覆盖的木星的卫星欧罗巴（Europa）。
Credit: NASA/JPL-Caltech

一、题目

是 $n$ 阶方阵，且满足：

$$
\boldsymbol{A}^{2} = \boldsymbol{A}
$$

请证明：

$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) = n
$$

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每日箴言：时空交错之间，万物生长变换

驱动世界运行的动力，或许不是炙热的阳光，而是令我们捉摸不透的时间，只要时间掠过，便不存在绝对的静止，万物都在不断的振动中，产生和变化。

2024 年 09 月 16 日

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描述：这是一幅艺术想象图，描绘了 NASA 的欧罗巴快艇号（Europa Clipper）航天器接近木星及其冰冷的卫星欧罗巴。欧罗巴快艇号计划于 2030 年 04 月抵达木星。
Credit: NASA/JPL-Caltech

关于由 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 可得 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$ 的一个简单证明方式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们证明下面这个公式：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O} \\
\Leftrightarrow & \ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{B}) \leqslant n
\end{aligned}
$$

其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n \times n$ 阶方阵。

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每日箴言：时光从来不曾带走什么

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：André Karwath aka Aka

时光的烙印让岁月看似变得斑驳，但这烙印蚀刻出的纹理，却让未来照进了现实。所以，时光从来不曾带走什么，因为这里的一切，都是时光的馈赠。

2024 年 09 月 15 日

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描述：德国布莱肯汉因宫露天博物馆中的一辆近代蒸汽汽车。
作者：André Karwath aka Aka
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2005 年 04 月 30 日
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

一、题目

$$
K_{m} = \int_{0}^{\pi} x \sin ^{m} x \mathrm{~d} x = ?
$$

其中，$m$ 为自然数。

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每日箴言：每一种旺盛，都是对生命的致敬

繁茂的树叶、鲜艳的花朵、凌冽的风、洁白的云、掷地有声的土地和水击石穿的流水，每一种旺盛与活力，都是对生命的崇高致意和庄重回响。

2024 年 09 月 14 日

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描述：产自墨西哥的一种可食用的刺梨仙人掌果实。
作者：Tomás Castelazo
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 07 月
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

一、题目

$$
I = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \mathrm{~d} x = ?
$$

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每日箴言：我们每一天都在“盗用”昨天的身份

今天的自己所拥有的身份与物质财产，全部都来自昨天的那个“你”——所以，在我们憧憬明天的那个“他/她”的时候，也不要忘记给昨天的“你”一次致敬的回眸。

2024 年 09 月 13 日

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描述：从滨湖阿尔卑斯山上眺望雾中的瑞士楚格湖。
作者：Simon Koopmann
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 12 月 30 日 14 时 14 分
相机坐标：东经 8° 27′ 29″, 北纬 47° 03′ 47″
来源：wikipedia.org

关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E}$ $-$ $\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明

一、前言

在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：

$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
$$

事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。

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每日箴言：没有哪条路一定通向成功，但待在原地，一定会陷入失败

前进方向上的每一条路都可能荆棘遍地，前方有可能是光明与坦途，也可能是昏暗与泥沼。但是，世界总是在不断的发展变化，待在原地一定会被世界抛弃。

2024 年 09 月 12 日

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描述：芬兰赛车手米卡·哈基宁驾驶梅塞德斯-奔驰 DTM 赛车参加在德国斯图加特市举办的 Stars and Cars 比赛。
作者：AngMoKio
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 11 月 07 日
相机坐标：东经 9° 14′ 05.72″, 北纬 48° 47′ 17.6″
来源：wikipedia.org