题目
证明：
$$
x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^{2}}{2}.
$$
其中：
$$
-1 < x < 1.
$$
解析
由题可令：
$$
f(x) = x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x – 1 – \frac{x^{2}}{2}.
$$
若当 $-1<x<1$ 时，$f(x) \geqslant 0$, 则题目得证。
又：
$$
f^{‘}(x) = \ln \frac{1+x}{1-x} + x \cdot (\ln \frac{1+x}{1-x})^{‘} – \sin x – \frac{1}{2} \cdot 2x \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(x) = \ln \frac{1+x}{1-x} + x \cdot [\frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{1-x+1+x}{(1-x)^{2}}] – \sin x – x \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(x) = \ln \frac{1+x}{1-x} + x \cdot [\frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{2}{(1-x)^{2}}] – \sin x – x \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(x) = \ln \frac{1+x}{1-x} + \frac{2x}{1-x^{2}} – \sin x – x.
$$
接着：
$$
f^{”}(x) = [f^{‘}(x)]^{‘} \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(x) = (\ln \frac{1+x}{1-x})^{‘} + (\frac{2x}{1-x^{2}})^{‘} – (\sin x)^{‘} – (x)^{‘} \Rightarrow
$$
$$
f^{”}(x) = \frac{2}{1-x^{2}} + \frac{2(1-x^{2}) + 4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}} – \cos x – 1 \Rightarrow
$$
注：
[1]. 从计算 “$f^{‘}(x)$” 的过程可知：$(\ln \frac{1+x}{1-x})^{‘} = \frac{2}{1-x^{2}}$.
$$
f^{”}(x) = \frac{2}{1-x^{2}} + \frac{2}{1-x^{2}} – \cos x – 1 \Rightarrow
$$
$$
f^{”}(x) = \frac{4}{1-x^{2}} – \cos x – 1.
$$
当 $-1<x<1$ 时，有：
$$
\frac{4}{1-x^{2}} > 4, \cos x < 1.
$$
于是：
$$
\frac{4}{1-x^{2}} – \cos x – 1 > 0.
$$
即：
$$
f^{”}(x) > 0.
$$
因此，函数 $f(x)$ 是一个凹函数，有最小值点。
接下来，我们只需要找到这个最小值点，如果这个最小值点不小于零，那么，题目就得证了。找最小值的过程可分为以下三步：
第一步：
当 $-1<x<0$ 时，对 $f^{‘}(x) =$ $\ln \frac{1+x}{1-x}$ $+ \frac{2x}{1-x^{2}}$ $- \sin x – x$ 而言，有如下判断：
根据 $y = \ln x$ 的函数图象可知，如果变量 $x$ 在区间 $(-1,0)$ 上稍微向靠近 “$-1$” 的方向移动一点，$\ln x$ 的值就会剧烈的向 $Y$ 轴的负半轴移动一大段距离，即得到一个特别大的负数。
而且，但 $x \in (-1,0)$ 时，$\frac{2x}{1-x^{2}}$ 也是一个负数。
因此：
$$
|\ln \frac{1+x}{1-x} + \frac{2x}{1-x^{2}}| >> |\sin x + x|
$$
注：
[1]. 符号 “$>>$” 表示“远大于”。
于是，当 $-1<x<0$ 时：
$$
f^{‘}(x) = (\ln \frac{1+x}{1-x} + \frac{2x}{1-x^{2}}) – (\sin x + x) < 0.
$$
第二步：
当 $0<x<1$ 时，对 $f^{‘}(x) =$ $\ln \frac{1+x}{1-x}$ $+ \frac{2x}{1-x^{2}}$ $- \sin x – x$ 而言，有如下判断：
根据函数的大致图象可知（可以代入几个特殊点，试探着算出函数图象的大致走势），当 $x \in (0,1)$ 时，有：
$$
\ln \frac{1+x}{1-x} > 0, \frac{2x}{1-x^{2}}>0, \sin x > 0, x > 0.
$$
而且，当变量 $x$ 在区间 $(0,1)$ 上向 “$1$” 的方向逐渐靠近时，$\frac{1+x}{1-x}$ 和 $\frac{2x}{1-x^{2}}$ 的数值增长速度都要高于 $\sin x$ 和 $x$ 的数值增长速度。
于是，当 $0<x<1$ 时：
$$
f^{‘}(x) = (\ln \frac{1+x}{1-x} + \frac{2x}{1-x^{2}}) – (\sin x + x) > 0.
$$
第三步：
当 $x = 0$ 时，有：
$$
f^{‘}(x) = (\ln \frac{1+x}{1-x} + \frac{2x}{1-x^{2}}) – (\sin x + x) =
$$
$$
(0+0) – (0+0) = 0.
$$
于是，$(0,0)$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上的最小值点，且最小值为 $f(0)=0$. 即，当 $-1<x<1$ 时，$f(x) \geqslant 0$, 本题得证。