2011年考研数二第01题解析

题目

已知当 $x \rightarrow 0$ 时,函数 $f(x) = 3 \sin x – \sin 3x$ 与 $cx^{k}$ 是等价无穷小,则 $?$

$$
A. k=1,c=4
$$

$$
B. k=1,c=-4
$$

$$
C. k=3,c=4
$$

$$
D. k=3,c=-4
$$

解析

这类题目可以使用等价无穷小或者麦克劳林公式,首先要尝试使用等价无穷小,如果尝试过后等价无穷小公式不能使用,则尝试使用麦克劳林公式。

由 $x \rightarrow 0$ 时的关于 $\sin x$ 的如下等价无穷小:

$$
x – \sin x \sim \frac{1}{6}x^{3}.
$$

可知,关于 $\sin x$ 的麦克劳林公式可以写做:

$$
\sin x = x – \frac{1}{6} x^{3}.
$$

于是:

$$
f(x) =
$$

$$
3 \sin x – \sin 3x =
$$

$$
3(x – \frac{1}{6}x^{3}) – [3x – \frac{1}{6}(3x)^{3}] =
$$

$$
3x – \frac{3}{6} x^{3} – 3x + \frac{27}{6} x^{3} =
$$

$$
\frac{27}{6} x^{3} – \frac{3}{6} x^{3} =
$$

$$
\frac{24}{6} x^{3} =
$$

$$
4x^{3}.
$$

又:

$$
4x^{3} \sim cx^{k} \Rightarrow
$$

$$
c = 4;
$$

$$
k = 3.
$$

综上可知,正确选项为 $C$.