2011年考研数二第01题解析

题目

已知当 $x\to 0$ 时，函数 $f(x)=3\sin x–\sin 3x$ 与 $c{x}^k$ 是等价无穷小，则 $?$

$$A.k=1,c=4$$

$$B.k=1,c=-4$$

$$C.k=3,c=4$$

$$D.k=3,c=-4$$

解析

这类题目可以使用等价无穷小或者麦克劳林公式，首先要尝试使用等价无穷小，如果尝试过后等价无穷小公式不能使用，则尝试使用麦克劳林公式。

由 $x\to 0$ 时的关于 $\sin x$ 的如下等价无穷小：

$$x–\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3.$$

可知，关于 $\sin x$ 的麦克劳林公式可以写做：

$$\sin x=x–\frac{1}{6}{x}^3.$$

于是：

$$f(x)=$$

$$3\sin x–\sin 3x=$$

$$3(x–\frac{1}{6}{x}^3)–[3x–\frac{1}{6}(3x{)}^3]=$$

$$3x–\frac{3}{6}{x}^3–3x+\frac{27}{6}{x}^3=$$

$$\frac{27}{6}{x}^3–\frac{3}{6}{x}^3=$$

$$\frac{24}{6}{x}^3=$$

$$4x^3.$$

又：

$$4x^3\sim c{x}^k\Rightarrow$$

$$c=4;$$

$$k=3.$$

综上可知，正确选项为 $C$.

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