2011年考研数二第02题解析

题目

设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导,且 $f(0)=0$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} f(x) – 2f(x^{3})}{x^{3}} = ?$

$$
A. -2f^{‘}(0)
$$

$$
B. -f^{‘}(0)
$$

$$
C. f^{‘}(0)
$$

$$
D. 0
$$

解析

由题可得:

$$
f^{‘}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
f^{‘}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}.
$$

于是:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} f(x) – 2f(x^{3})}{x^{3}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} f(x)}{x^{3}} – \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2f(x^{3})}{x^{3}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} – \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2f(x^{3})}{x^{3}} =
$$

$$
f^{‘}(0) – 2f^{‘}(0) =
$$

$$
-f^{‘}(0).
$$

综上可知,正确选项为 $B$.