2012年考研数二第08题解析

题目

设 $A$ 为三阶矩阵,$P$ 为三阶可逆矩阵,且 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$. 若 $P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$, $Q=(\alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$. 则 $Q^{-1}AQ=?$

$$
A. \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

$$
B. \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$

$$
C. \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$

$$
D. \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

解析

方法一

本题可以考虑使用特例法解出。使用特例法的好处是在找到合理的特例之后就只需要算,不需要太多逻辑上的推导。该方法特别适合做选择题,比较适合做填空题。

题中说 $P$ 是三阶可逆矩阵,因此,我们可以令:

$$
P=E.
$$

于是:

$$
P^{-1} = E.
$$

于是:

$$
P^{-1} A P = EAE = A =
$$

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$

又:

$$
P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3});
$$

$$
Q=(\alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3}).
$$

于是:

$$
Q = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

又由 $(Q, E) \rightarrow 行变换 \rightarrow (E, Q^{-1})$ 可得:

$$
Q^{-1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

于是:

$$
Q^{-1}AQ=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$

方法二

本题还可以直接算,不用特殊值法。

由于:

$$
P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3});
$$

$$
Q=(\alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3}).
$$

于是:

$$
Q=
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

若令:

$$
K=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

则有:

$$
Q=PK.
$$

于是:

$$
Q^{-1} = (PK)^{-1} = K^{-1}P^{-1}.
$$

又由 $(K, E) \rightarrow 行变换 \rightarrow (E, K^{-1})$ 知:

$$
K^{-1} =
$$

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

于是:

$$
Q^{-1}AQ =
$$

$$
K^{-1}(P^{-1}AP)K =
$$

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=
$$

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$

综上可知,正确选项为 $B$.

EOF