2014年考研数二第08题解析

题目

设 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 是三维向量,则对任意常数 $k$, $l$, 向量 $\alpha_{1} + k \alpha_{3}$, $\alpha_{2}+l\alpha_{3}$ 线性无关是向量 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性无关的 $?$

$$
A. 必要非充分条件
$$

$$
B. 充分非必要条件
$$

$$
C. 充分必要条件
$$

$$
D. 既非充分又非必要条件
$$

解析

口诀:

前充分后必要,小充分大必要。

充分条件和必要条件的辅助记忆图形如图 1 所示:

图 1

充分性:

如果我们不是通过计算或者逻辑推理证明一个结论,而是通过举例证明一个结论,那么我们要做的就是举【反例】,也就是努力找使该结论不成立的特例,而不是找能使该问题成立的结论。因为有限个正面的例子成立并不能证明结论成立,但只要有一个反例证明该结论不成立,那么,这个结论就是不成立的。

总之——

举例就要举反例!!!

由于题目中说了 $k$, $l$ 可以任意取,也就是说,只找到有限组的 $k$, $l$ 证明一个结论成立或者不成立都是没有用的,因为这特定的 $k$, $l$ 都不是【任意】的 $k$ 和 $l$. 也就是说,只要一个值是可以【任意】取的,那么它就是【自由】的,在举例时,【自由】的值是不可以被特例化的。

若 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ 线性无关,$\alpha_{3}=0$, 此时,$\alpha_{1} + k \alpha_{3}$ 和 $\alpha_{1} + l \alpha_{3}$ 也是线性无关的。但是,由于 $0$ 向量和任何同类型的向量(行向量或列向量)都是线性相关的,因此,$\alpha_{3}$ 与 $\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{1}$ 都是线性相关的,进而,$\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性相关。

无论 $k$, $l$ 取何值,上述特例都成立,因此,题目中问的充分性不成立。

必要性:

要检查必要性,也就是我们认为 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性无关是成立的,又:

$$
(\alpha_{1} + k \alpha_{3}, \alpha_{2} + l \alpha_{3}) =
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{vmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
k & l
\end{vmatrix}
$$

由于 $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 是一个可逆矩阵,因此,$(\alpha_{1} + k \alpha_{3}, \alpha_{2} + l \alpha_{3})$ 的秩就取决于 $\begin{vmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
k & l
\end{vmatrix}$ 的秩。

由于 $\begin{vmatrix}
1\\
0\\
k
\end{vmatrix}$ 和 $\begin{vmatrix}
0\\
1\\
l
\end{vmatrix}$ 线性无关,因此:

$$
r\begin{vmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
k & l
\end{vmatrix} = 2.
$$

于是:

$$
r(\alpha_{1} + k \alpha_{3}, \alpha_{2} + l \alpha_{3})=2.
$$

于是可知,$\alpha_{1} + k \alpha_{3}$ 与 $\alpha_{2} + l \alpha_{3}$ 线性无关,即,必要性成立。

综上可知,对任意常数 $k$, $l$, 向量 $\alpha_{1} + k \alpha_{3}$, $\alpha_{2}+l\alpha_{3}$ 线性无关是向量 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性无关的必要非充分条件,正确选项为 $A$.

EOF