2012年考研数二第05题解析

题目

设函数 $f(x,y)$ 可微,且对于任意 $x,y$ 都有 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}>0$, $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}<0$, 则使不等式 $f(x_{1}, y_{1})<f(x_{2}, y_{2})$ 成立的一个充分条件是 $?$

$$
A. x_{1} > x_{2}, y_{1} < y_{2}
$$

$$
B. x_{1} > x_{2}, y_{1} > y_{2}
$$

$$
C. x_{1} < x_{2}, y_{1} < y_{2}
$$

$$
D. x_{1} < x_{2}, y_{1} > y_{2}
$$

解析

由于:

$$
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}>0 \Rightarrow
$$

$f(x,y)$ 对 $x$ 而言是一个增函数。

$$
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}<0 \Rightarrow
$$

$f(x,y)$ 对 $y$ 而言是一个减函数。

又:

$$
f(x_{1}, y_{1})<f(x_{2}, y_{2})
$$

所以:

$$
f(x_{1}) < f(x_{2}) \Rightarrow
$$

$$
x_{1} < x_{2};
$$

$$
f(y_{1}) < f(y_{2}) \Rightarrow
$$

$$
y_{1} > y_{2}.
$$

综上可知,正确选项为 $D$.

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