2014年考研数二第10题解析

题目

设 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的可导奇函数,且 $f^{‘}(x) = 2(x-1)$, $x \in [0,2]$, 则 $f(7) = ?$

解析

由于:

$$
f^{‘}(x) = 2(x-1) = 2x – 2.
$$

于是:

$$
f(x) = x^{2} – 2x + C.
$$

又:

$$
f(0) = 0.
$$

于是:

$$
C=0 \Rightarrow
$$

$$
f(x) = x^{2} – 2x.
$$

又:

$$
7 = (-1) + 4 \times 2.
$$

故:

$$
f(7) = f(-1).
$$

又:

$$
f(-1) = – f(1).
$$

故:

$$
f(7) = – f(1) =
$$

$$
-(1-2) = -(-1) = 1.
$$

综上可知,正确答案为 $1$.

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