2014年考研数二第10题解析

题目

设 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的可导奇函数，且 $f^{‘}(x)=2(x-1)$, $x\in [0,2]$, 则 $f(7)=?$

解析

由于：

$$f^{‘}(x)=2(x-1)=2x–2.$$

于是：

$$f(x)=x^2–2x+C.$$

又：

$$f(0)=0.$$

于是：

$$C=0\Rightarrow$$

$$f(x)=x^2–2x.$$

又：

$$7=(-1)+4\times 2.$$

故：

$$f(7)=f(-1).$$

又：

$$f(-1)=–f(1).$$

故：

$$f(7)=–f(1)=$$

$$-(1-2)=-(-1)=1.$$

综上可知，正确答案为 $1$.

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