2013年考研数二第12题解析

题目

曲线 $\left\{\begin{matrix}
x = \arctan t,\\
y = \ln \sqrt{1+t^{2}}
\end{matrix}\right.$ 上对应于 $t=1$ 的点处的法线方程为 $?$

解析

解答本题的关键是知道如下性质:

$$
切线斜率 \times 法线斜率 = ( -1 ).
$$

$$
\frac{dy}{dt} =
$$

$$
\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \times \frac{1}{2} (1+t^{2})^{-\frac{1}{2}} \times 2t =
$$

$$
\frac{t(1+t^{2})^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{1+t^{2}}}.
$$

$$
\frac{dx}{dt} =
$$

$$
\frac{1}{1+t^{2}}.
$$

于是:

$$
\frac{dy}{dx} =
$$

$$
t(1+t^{2})^{-\frac{1}{2}} \times (1+t^{2})^{\frac{1}{2}} = t.
$$

因此,当 $t=1$ 时,法线的斜率为:

$$
k = \frac{-1}{1} = -1.
$$

又,当 $t=1$ 时,有:

$$
x = \frac{\pi}{4};
$$

$$
y = \ln \sqrt{2}.
$$

于是,法线方程为:

$$
y – \ln \sqrt{2} = (-1) \times (x – \frac{\pi}{4}) \Rightarrow
$$

$$
x + y – \ln \sqrt{2} – \frac{\pi}{4} = 0.
$$

注意:在试卷上做标注时要特别注意,不要遮盖住了题目本身。有些题目部分区域字很小(例如写次方数的位置),细微的遮盖就有可能造成读题出错。

综上可知,正确答案为 $x + y – \ln \sqrt{2} – \frac{\pi}{4} = 0$.

EOF


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress