题目
设函数 $u(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 内二阶连续可导，且满足 $\frac{\partial^{2}u}{\partial x \partial y} \neq 0$, $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0$, 则 $?$
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A. u(x,y) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得
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B. u(x,y) 的最大值和最小值都在 D 的内部取得
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$$
C. u(x,y) 的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得
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$$
D. u(x,y) 的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得
$$
解析
无论在真题中遇到什么题，始终要记住的一点就是：这个题一定可以用书中的公式和性质解出来，除此之外，不会有更加深澳的解法。因此，看到一道题时，首先要认真读题，之后确定这是考察的哪部分知识，然后，调取出和这部分知识有关的公式和性质，最后，利用这些公式和性质解题。真题解题时都是紧扣有关公式和性质的，解法的思维发散性很低。
对于本题，就是考察通过二阶偏导数判断极值状态的那部分知识：
- $AC-B^{2}>0$ 时有极值，且当 $A>0$ 时有极小值，当 $A<0$ 时有极大值；
- $AC-B^{2}<0$ 时没有极值；
- $AC-B^{2}=0$ 时不确定是否有极值。
本题告诉我们，在积分区域 $D$ 内部（不包括边界），有：
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B \neq 0;
$$
$$
A+C=0 \Rightarrow
$$
$$
A=C=0;
$$
OR
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A=-C.
$$
于是，若 $A=C=0$, 则有：
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AC-B^{2} =
$$
$$
0-B^{2} < 0 \Rightarrow D 内部不存在极值。
$$
若 $A=-C$, 则有：
$$
-C^{2} – B^{2} =
$$
$$
-(C^{2} + B^{2}) < 0 \Rightarrow D 内部不存在极值。
$$
由上述分析可知，$D$ 的内部一定不存在极值，但不知道 $D$ 的边界处是否存在极值。不过，题目的所有选项都没有提到极值不存在的情况，因此，极值一定存在且都存在于 $D$ 的边界上。
综上可知，正确选项为 $A$.
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