2018年考研数二第13题解析

题目

设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $\ln z + e^{z-1} = xy$ 确定,则 $\frac{\partial z}{\partial x} |_{(2,\frac{1}{2})}=?$

解析

本题就是隐函数求导。

本题要注意的关键点之一是字母 $z$ 的书写方式,因为,$z$ 这个字母写不好的话极易发生混淆。

关于 $z$ 的书写方式可以参考图 1:

图 1

由于要计算的式子中含有 $\frac{\partial z}{\partial x}$, 于是,在式子 $\ln z + e^{z-1} = xy$ 两端对 $x$ 求偏导,得:

$$
(\ln z)_{x}^{‘} + (e^{z-1})_{x}^{‘} = y \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} + e^{z-1} \frac{\partial z}{\partial x} = y \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{\frac{1}{z}+e^{z-1}}. ①
$$

又因为,当 $x=2,y=\frac{1}{2}$ 时,有:

$$
\ln z + e^{z-1}=1.
$$

此时,必然有:

$$
z=1.
$$

将 $x,y,z$ 的数值带入 $①$ 式得:

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\frac{1}{2}}{1
+1} = \frac{1}{4}.
$$

综上可知,正确答案为 $\frac{1}{4}$.

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作者: zhaokaifeng.com

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