题目
\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1-\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}=e, 则 k=__.
解析
观察本题可以发现，这是一个求极限的式子，而且等式的右边是 e, 符合“两个重要极限”中的第二个重要极限的一部分特征。
两个重要极限如下：
\lim_{x \rightarrow x_{x_{0}}}\frac{\sin x}{x}=1,\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e.
由于题目中的式子不存在上述公式中的 1, 因此，我们需要构造出这个 1, 即：
1+\square=\frac{1-\tan x}{1+\tan x }\Rightarrow \square = \frac{1-\tan x}{1+\tan x }-1=\frac{1-\tan x}{1+\tan x }-\frac{1+\tan x}{1+\tan x}=\frac{-2 \tan x}{1+\tan x}.于是，原式= \lim_{x \rightarrow 0}(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}=e. (1)
由于当 x \rightarrow 0 时，\frac{-2\tan x}{1+\tan x} \rightarrow 0 且 \frac{1}{\sin kx} \rightarrow \infty, 所以，符合使用“两个重要极限”的条件，可以继续接下来的计算。
接下来继续向公式的方向构造等式。
(1) = \lim_{x \rightarrow 0}(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}\frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}} (2)根据公式，我们知道：
\lim_{x \rightarrow 0}(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}}=e.于是：
(2)=e^{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}}=e^{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}} (3)当 x \rightarrow 0 时，\tan x \rightarrow 0 是不可以带入原式中的（只有非零和非无穷的数值可以带入原式中。），不过当 x \rightarrow 0 时，(1+\tan x) \rightarrow 1 是可以带入原式中的，于是：
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{\sin kx}.又因为当 x \rightarrow 0 时，\sin x \sim \tan x \sim x, 于是：
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{\sin kx}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2x}{kx}=-\frac{2}{k}.即：
e^{-\frac{2}{k}}=e \Rightarrow -\frac{2}{k}=1 \Rightarrow k=-2.综上可知，正确答案是：-2
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