2015 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析

题目

设函数 f(x)=x+a \ln(1+x)+bx\sin x,g(x)=kx^{3}x \rightarrow 0 时等价无穷小,求常数 a,b,k 的取值.

解析

由于 x \rightarrow 0 时,f(x)g(x) 是等价无穷小,因此有:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1, 即:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x+a \ln(1+x)+bx \sin x}{kx^{3}}=1.

又由麦克劳林公式:

1. \sin x=x+o(x^{2});

注 1:根据麦克劳林公式,\sin x 也可以等于 x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4}), 但是这里为了能够在接下来的计算中使得分子分母可以使用“对照”的方式求解,分子的最大幂次不能大于分母的最大幂次。由于 \sin x 在使用麦克劳林公式替换之后还需要和 x 相乘得到二次幂,因此这里只能令 \sin x 等于 x+o(x^{2}).

2. \ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}).

注 2. 对 \ln(1+x) 项数的选取所依据的原因和注 1 一致。

于是,我们有:

1=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x+ax-\frac{a}{2}x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})+bx^{2}+o(x^{3})}{kx^{3}}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1+a)x+(b-\frac{a}{2})x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})}{kx^{3}}.

于是,我们有:

\left\{\begin{matrix} 1+a=0\\ b-\frac{a}{2}=0,\\ \frac{a}{3}=k \end{matrix}\right.

解得:

\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-\frac{1}{2}\\ k=-\frac{1}{3} \end{matrix}\right.

手写作答

图 1

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